Problema di geometria analitica strategico.help!

[raff3875]

In un'iperbole i fuochi F1 e F2 hanno per coordinate (-5;0) e (+5;0). Preso sull'iperbole un punto P qualsiasi, che non sia vertice dell'iperbole, si consideri su PF1 il punto Q1 tale che PQ1:Q1F1=2:3 e su PF2 il punto Q2 tale che PQ2:Q2F2=2:3. Del trapezio F1Q1Q2F2 si sa che, togliendo dalla differenza delle basi la differenza dei lati obliqui, si ottiene 2,4 cm.Qual è l'equazione dell'iperbole?


non so da dove iniziare aiuto..grazie anticipatamente!

[raff3875]

per favore datemi almeno un'idea di come risolverlo..un input!

[@melia]

Ho provato assegnando a P le coordinate $(x_0;y_0)$, per semplificare ho messo P nel I quadrante, a generalizzare si fa sempre a tempo. La mia intenzione era quella di ottenere un'equazione in $x_0$ e $y_0$ da mettere a sistema con l'iperbole $x^2/a^2-y^2/(25-a^2)=1$, ma ho un sistema a tre incognite e non riesco ad eliminarne nessuna e poi mi viene una marea di calcoli.
Forse dopo aver posto $P (x_0;y_0)$ e aver determinato l'equazione dei lati del trapezio conviene metterla a sistema con la definizione di iperbole ma il parametro resta sempre. Non so che cosa dirti di più. Ci devo pensare a mente fresca.

[raff3875]

okay grazie mille lo stesso!

[giammaria2]

I miei calcoli sono piuttosto lunghi e per ora non saprei come abbreviarli; indico solo il procedimento. Poichè non conosciamo l'iperbole, trascuriamola momentaneamente e cerchiamo il punto P(x,y) (o il luogo dei punti P) tale che, dati i punti $F_1$ e $F_2$ indicati valgano le condizioni date. Supposto P nel primo quadrante si ottiene $Q_1(2-3/3x, 3/5y)$ e $Q_2(3/5x-2,3/5y)$ e, alla fine dei calcoli, $x^2/9-y^2/16=1$ che è proprio l'equazione di un'iperbole con quei fuochi. Quindi l'iperbole cercata è quella e P può essere un suo punto qualsiasi. Certo che sarebbe stato meglio un enunciato un po' diverso.

[giammaria2]

Adesso ho trovato anche il metodo per abbreviare i calcoli; il ragionamento iniziale è lo stesso. Per la similitudine si ha $Q_1Q_2 : F_1F_2 = 2:5 \Rightarrow Q_1Q_2 = 4$.
E' poi $F_1Q_1=3/5 PF_1$ e $F_2Q_2=3/5 PF_2$. Sostituendo nell'ultima formula
$10-4-3/5PF_2+3/5PF_1 =12/5$ da cui semplificando si ricava $PF_2-PF_1 = 6$ che è la definizione di un'iperbole avente quei fuochi e $a=3$

[@melia]

Bravo, era proprio il procedimento che stavo cercando quando la cena da preparare prima e le insistenze di raf poi hanno distolto la mia attenzione. Tra l'altro un errore di calcolo mi manteneva una x vagante per cui pensavo di dover procedere ad ulteriori calcoli.