Problema di geometria analitica riguardante una ellisse

[rofellone]

Un'ellisse, riferita ai propri assi di simmetria, passa per i punti di coordinate (3,4) e (-4,2);dopo averne scritto l'equazione,calcolare la misura dell'area del quadrato inscritto nell'ellisse. Ho trovato che l'ellisse ha equazione 12x^2+7y^2=220 però non riesco a trovare l'area del quadrato inscritto in essa. Non so come procedere. Io avevo pensato di prendere una generica retta di equazione x=t e trovare i punti che essa incontra sull'ellisse in funzione di t.poiu prendere una retta di equazione y=t e di trovare i punti che incontra sull'ellisse in funzione di t. Poi trovare la distanza dei primi due punti in funzione di t e porla uguale alla distanza degli altri due punti.Mi esce un risultato diverso. Dove sto sbagliando?

[adaBTTLS1]

per ragioni di simmetria un qualsiasi rettangolo inscritto dovrebbe avere i lati paralleli agli assi. se è un quadrato, le diagonali sono anche perpendicolari ...
allora, se l'ellisse ha centro nell'origine, per trovare i vertici del quadrato inscritto basta mettere a sistema l'equazione dell'ellisse con le equazioni $y=+-x$ ...
spero sia chiaro. ciao.

[rofellone]

Scusa Ada ma potresti spiegarti meglio?credo di non aver afferrato bene il concetto

[adaBTTLS1]

mi pare di aver capito che si tratta di un'ellisse con centro nell'origine ed assi di simmetria coincidenti con gli assi x,y. se è così, i quattro vertici devono avere coordinate (c,c), (-c,c), (-c,-c), (c,-c), con c numero reale, cioè devono appartenere due alla retta y=x e due alla retta y=-x.
OK?

[rofellone]

Ma per "riferita ai propri assi di simmetria" cosa intende precisamente il testo? Perchè dici che i vertici hanno coordinate (c,c)? I vertici se è un'ellisse stanno sugli assi x e y quindi non dovrebbero avere coordinate ad esempio (c,0) ecc.?

[@melia]

Sta parlando dei vertici del quadrato inscritto.

[rofellone]

Ok adesso ho capito perchè si arriva adire che la retta deve avere equazione y=+-t. invece che si intende con ellisse riferita ai propri assi di simmetria?

[@melia]

L'ellisse è simmetrica sia rispetto agli assi cartesiani che rispetto all'origine, quindi anche il quadrato deve esserlo.

[rofellone]

Allora sono passato a risolvere il problema dal punto di vista del calcolo. Ho intersecato la retta y=t con l'ellisse trovandomi $x^2$=$(220-7(t)^2)/12$ da cui mi trovo due valori delle ascisse. Poi ho intersecato la retta x=t con l'ellisse trovando che $(y)^2$=$(220-12(t)^2)/7$ da cui mi trovo due valori delle ordinate. Ora prendo due punti uno P1 e uno P2 che hanno ordinata identica e ascissa uguale ma opposta. Poi prendo due punti Q1 e Q2 aventi stessa ordinata e ascissa uguale ma opposta. Ora pongo la distanza P1P2=P2Q2 le distanze saranno in modulo ovviamente precisamente P1P2=$(440-14(t)^2)/12$ mentre P2Q2=$(440-24(t)^2)/7$ poi mi trovo $(t)^2$=$220/19$ e sostituendo ai lati di prima trovo che sono uguali a $440/19$ mentre come arera mi riporta 880/19. dove sbaglio?

[adaBTTLS1]

non sono riuscita a seguirti, però l'area del quadrato è data dal quadruplo dell'area del quadratino in ciascun quadrante...

[rofellone]

in pratica ho preso una retta di equazione y=t e l'ho intersecata con l'ellisse mi sono trovato due punti P1(m,n) e P2(-m,n) poi ho intersecato x=t con l'ellise e ho trovato due punti: Q1(m,n) Q2(m,-n) quindi la distanza Q1Q2=P1P2 e mi viene t=220/19 cioè il lato di questo quadrato è 220/19 però poi non mi trovo con l'area. dove sbaglio?

[adaBTTLS1]

tu però parlavi di $t^2=220/19$. se effettivamente t è il lato del quadrato, allora l'area dovrebbe essere 220/19 e non 440/19 come hai scritto. se invece fosse t la metà del lato del quadrato allora verrebbe 880/19. perché hai scritto 440/19?

[adaBTTLS1]

comunque, a dire il vero, non capisco perché hai dovuto calcolare la distanza tra due punti: basta prendere il valore assoluto di una qualsiasi ascissa o una qualsiasia ordinata (perché sono tutte uguali) e moltiplicarla per due se volevi trovare il lato o direttamente fare il quadruplo del suo quadrato per trovare l'area. così è coerente con quello che hai fatto tu?

[rofellone]

scusa Ada: allora t mi viene uguale a 220/19 mentre quando lo sostituisco alle distanze tipo quella di P1P2 mi viene che il lato è 440/19 e l'area riportata dal libro è 880/19 mentre a me viene il lato 440/19

[adaBTTLS1]

se fosse il lato uguale a 220/19, per trovare l'area dovresti fare il quadrato, mica il doppio... continuo a non capire come fa a venirti il doppio.

[rofellone]

Allora a me viene t=220/19 cioè la retta y=t è y=220 19 poi prima avevo trovato in funzione di tP1P2 che era (in modulo):$(440-14(t)^2)/12$ e sostituendo a t 220/19 ottengo 440/19 che dovrebbe essere il lato del quadrato

[adaBTTLS1]

mettendo a sistema ${(12x^2+7y^2=220),(y=+-x) :} -> x^2=y^2=220/19$, dunque 220/19 è l'area di un quadrato di un quadrante, per cui l'area richiesta è $4*220/19=880/19$
i vertici sono $(+-sqrt(220/19),+-sqrt(220/19))$
il lato del quadrato è $2*sqrt(220/19)=sqrt(4*220/19)=sqrt(880/19)$
tutto coerente con i risultati...

spero sia chiaro.
ciao.

[rofellone]

Finalmente ho capito! scusa per il disturbo e grazie ancora per il tempo che hai perso per me! Un saluto e a presto

[adaBTTLS1]

prego!
mi fa piacere che hai capito... io ancora non ho chiaro che cosa sbagliavi!

[dilettabenedetti]

Ho capito entrambi.
Io inizialmente ho usato lo stesso metodo di rofellone; ma il fatto è che la "t" non è la stessa per la retta parallela all'asse x e y. t è diversa perciò dovresti usare un'altra lettera come incognita.
Il metodo di ada è quello corretto e semplice. In pratica ti dice che le diagonali del quadrato coincidono con le bisettrici degli assi e che quindi i vertici del quadrato appartengono a tali rette.
Spero di essermi spiegata, ciao.