Problema di geometria analitica (massimi e minimi)
Buongiorno a tutti, oggi mi sono imbattuto in questo problema che mi ha dato qualche difficoltà di interpretazione, vi chiedo gentilmente di aiutarmi a comprendere meglio:
Dopo aver stabilito per quali valori di m l'equazione
$y=(mx-2)/[(1-m)x+4]$ rappresenta una iperbole equilatera traslata, determinare per quale valore di m il centro dell'iperbole ha minima la distanza dall'origine.
Io sono arrivato alla conclusione che sono accettabili tutti i valori di m eccetto +1 e -1.
Adesso vorrei capire come fare a determinare il valore di m affinchè sia minima la distanza del centro dell'iperbole dall'origine.
La soluzione del libro è m=-16 ed il punto è P(-4/17;-16/7). Non capisco perchè non abbia preso per punto l'origine stessa. Qualcuno può aiutarmi a schiarirmi le idee che sono abbastanza confuso.
Grazie dell'attenzione.
Dopo aver stabilito per quali valori di m l'equazione
$y=(mx-2)/[(1-m)x+4]$ rappresenta una iperbole equilatera traslata, determinare per quale valore di m il centro dell'iperbole ha minima la distanza dall'origine.
Io sono arrivato alla conclusione che sono accettabili tutti i valori di m eccetto +1 e -1.
Adesso vorrei capire come fare a determinare il valore di m affinchè sia minima la distanza del centro dell'iperbole dall'origine.
La soluzione del libro è m=-16 ed il punto è P(-4/17;-16/7). Non capisco perchè non abbia preso per punto l'origine stessa. Qualcuno può aiutarmi a schiarirmi le idee che sono abbastanza confuso.
Grazie dell'attenzione.
Risposte
Il centro dell'iperbole è $(\frac{4}{m-1}, \frac{m}{1-m})$, si vede che $\nexists m \in \mathbb{R}$ tale che $(\frac{4}{m-1}, \frac{m}{1-m}) = (0,0)$.
Quello che devi fare è minimizzare la funzione $f: \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \to \mathbb{R}$ definita da $f(m) = \frac{16}{m^2 - 2m + 1} + \frac{m^2}{m^2 - 2m + 1}$, che è per l'appunto la distanza fra l'origine e il centro dell'iperbole.
Quello che devi fare è minimizzare la funzione $f: \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \to \mathbb{R}$ definita da $f(m) = \frac{16}{m^2 - 2m + 1} + \frac{m^2}{m^2 - 2m + 1}$, che è per l'appunto la distanza fra l'origine e il centro dell'iperbole.
Grazie molte per il chiarimento, il tuo intervento mi è stato di grande aiuto. Arrivederci e a presto.
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