Problema di geometria analitica con discussione 216

[Marco241]

Siano A, B,C i vertici del triangolo i cui lati hanno equazioni:

$AB:2x+y+3=0$,$BC:2x+7y-27=0$, $AC:2x-5y+9=0$.

Determinare:

a.il baricentro G del triangolo ABC;

b.l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y,avente vertice in G e passante per l'origine O degli assi ,indicando con D l'ulteriore punto di intersezione di essa con l'asse x;

c.sull'arco OGD di parabola un punto P in modo che risulti

$bar(PR)+sqrt(2)*bar(PH)=k$, $k in R+$

essendo $bar(PR)$ e $bar(PH)$ le distanze di P rispettivamente dall'asse y e dalla bisettrice del secondo e quarto quadrante.


SVOLGIMENTO:

Ecco tutti i dati trovati:

$A(-2;1)$,$B(-4;5)$,$C(3;3)$,$G(-1;3)$

la parabola: $y=-3x^2-6x$ che interseca l'asse x nei punti $O(0;0)$ e $D(-2;0)$.

La bisettrice del secondo e quarto quadrante interseca la parabola in O e in $(-5/3;5/3)$

Ma veniamo all'ultima parte del problema che non mi viene per un punto:

$|x|+|x+y|= k$, $P(x;-3x^2-6x)$

adesso è ovvio che devo considerare due sistemi:

1)$-x-x-y=k$;

2)$-x+x+y=k$;

con

$-2<=x<=0$

Considerato che k vuole solo valori positivi incluso lo zero ottengo le due soluzioni:

$0<=k<=4 $

e

$0<=k<=3$

La soluzione del libro è questa:

$[0;5/3[ U ]3;4]$ e $k in [5/3;3]$

Intuisco che forse devo esprimere tutto in funzione di y nell'equazione risolvente per far uscire fuori il valore mancante $5/3$ ma onestamente non capisco perchè...

[giammaria2]

Devi esprimere tutto in funzione di $x$; essendo $y=-3x^2-6x$ ottieni l'equazione
$-x+|-3x^2-5x|=k$
con la limitazione che indichi. Giustamente dici che devi separarare i due casi: ottieni
${(-x-3x^2-5x=k),(-5/3<=x<=0):}vv{(-x+3x^2+5x=k),(-2<=k<-5/3):}$
e i risultati sono quelli voluti.