Problema di geometria analitica con circonferenza ed ellisse

[Marco241]

Nella regione delimitata dalle curve

gamma:$y=sqrt(4-x^2)$ e gamma':$y=-2sqrt(4-x^2)$

inscrivere il rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani avente perimetro massimo.

SVOLGIMENTO:

allora...ho due sistemi...

1)

$x^2+y^2-4=0$,

$y>=0$

2)

$x^2/4+y^2/16=1$

$y<=0$

Detto questo...Mi trovo i vertici del rettangolo:

$P(x;sqrt(4-x^2))$,

$P_1(x;-sqrt(16-4x^2))$,

$P_2(-x;sqrt(4-x^2))$,

$P_3(-x;-sqrt(16-4x^2))$.

Il rettangolo nel mio disegno è simmetrico rispetto all'asse y di conseguenza limito lo studio alla parte di destra.

Ottengo il seguente sistema:

$2x+2sqrt(16-4x^2)+2sqrt(4-x^2)=P$

con

$0<=x<=2$

solo che dopo ottengo il super polinomio:

$320x^4-192Px^3+64P^2x^2-1792x^2-8P^3x+640Px+P^4-160P^2+2304=0$

dove sbaglio???

[chiaraotta1]

Mi sembra che il perimetro sia massimo quando lo è anche il semiperimetro $p$:
${(p=2x+3sqrt(4-x^2)), (0<=x<=2):}$
o anche, utilizzando un raggio $OP$ nel primo quadrante e indicando con $theta$ l'angolo che $OP$ forma con il semiasse $x>0$,
${(p=r(2cos theta +3sin theta)), (0<=theta<=pi/2), (r=2):}$.
La funzione ha un massimo quando $p'=r(-2sin theta +3cos theta)=0->tan theta=3/2$, oppure ${(x=4/13sqrt(13)), (y=6/13sqrt(13)):}$.

[Marco241]

Ma guarda che sviste stupide che faccio!!! Grazie ora è tutto ok!!