Problema di geometria analitica
Ciao a tutti ragazzi, mi trovo di fronte al seguente problema:
In un piano cartesiano è assegnata una circonferenza K di raggio r e centro nell' origine degli assi e una parabola gamma passante per gli estremi A, B di un diametro di K e avente come asse di simmetria l’asse del segmento AB. L’area del segmento parabolico delimitato dalla parabola e dal segmento AB è 8/3 r^2. Determina l’equazione della parabola gamma.
Non capisco proprio come risolverlo, infatti la parabola gamma potrebbe avere qualsiasi asse di simmetria essendo AB un diametro della circonferenza e quindi di conseguenza sono infinite le parabole, o sbaglio?
Io l'unica cosa che ho determinato è la distanza del vertice dall' origine ma senza le coordinate e senza fuoco a poco serve.
Qualche consiglio? Grazie
In un piano cartesiano è assegnata una circonferenza K di raggio r e centro nell' origine degli assi e una parabola gamma passante per gli estremi A, B di un diametro di K e avente come asse di simmetria l’asse del segmento AB. L’area del segmento parabolico delimitato dalla parabola e dal segmento AB è 8/3 r^2. Determina l’equazione della parabola gamma.
Non capisco proprio come risolverlo, infatti la parabola gamma potrebbe avere qualsiasi asse di simmetria essendo AB un diametro della circonferenza e quindi di conseguenza sono infinite le parabole, o sbaglio?
Io l'unica cosa che ho determinato è la distanza del vertice dall' origine ma senza le coordinate e senza fuoco a poco serve.
Qualche consiglio? Grazie
Risposte
Adagio, TeM! La tua soluzione utilizza la teoria delle coniche ruotate, che viene studiata a livello universitario: è quindi fuori luogo in questa parte del forum e difficilmente può essere compresa da ignorante.
A lui do invece una risposta molto più semplice: poiché il testo dice solo dov'è l'origine e non come sono orientati gli assi, possiamo scegliere questa orientazione nel modo che ci è più comodo, cioè con l'asse $x$ sulla retta $AB$; di conseguenza l'asse $y$ sarà l'asse del segmento $AB$. Si ha quindi $A(r,0), B(-r,0)$ ed il resto non è certo difficile.
A lui do invece una risposta molto più semplice: poiché il testo dice solo dov'è l'origine e non come sono orientati gli assi, possiamo scegliere questa orientazione nel modo che ci è più comodo, cioè con l'asse $x$ sulla retta $AB$; di conseguenza l'asse $y$ sarà l'asse del segmento $AB$. Si ha quindi $A(r,0), B(-r,0)$ ed il resto non è certo difficile.
Infatti le soluzioni sono infinite, se non si specifica la pendenza della direttrice.
@ TeM. Tutto bene. Specifico però che anche nei testi liceali si trova qualche (purtroppo raro) esercizio in cui gli assi possono essere presi a piacimento, stimolando gli studenti a ragionare sulla scelta migliore.
@ Caenorhabditis. Ci sono infinite formule risolutive, ma corrispondono tutte ad una stessa figura, variamente orientata rispetto agli assi cartesiani.
@ Caenorhabditis. Ci sono infinite formule risolutive, ma corrispondono tutte ad una stessa figura, variamente orientata rispetto agli assi cartesiani.
"giammaria":
@ Caenorhabditis. Ci sono infinite formule risolutive, ma corrispondono tutte ad una stessa figura, variamente orientata rispetto agli assi cartesiani.
Certo, una per ogni direzione.
Grazie a tutti. Apprezzo il tuo lavoro TeM.
Ti ho seguito fino al calcolo del fuoco(a parte le formule che non conoscevo), non riesco però a capire come hai ricavato l' area del segmento parabolico (ho intuito che stai lavorando sul rettangolo circoscritto visto che c' è quel 2/3 ma non capisco come hai messo in relazione i suoi lati)
Magari se mi posti il link di un sito dove viene spiegato un argomento affine te ne sarei grato.
Ti ho seguito fino al calcolo del fuoco(a parte le formule che non conoscevo), non riesco però a capire come hai ricavato l' area del segmento parabolico (ho intuito che stai lavorando sul rettangolo circoscritto visto che c' è quel 2/3 ma non capisco come hai messo in relazione i suoi lati)
Magari se mi posti il link di un sito dove viene spiegato un argomento affine te ne sarei grato.
Ok grazie!
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