Problema di geometria a più incognite

[Athena3]

Ciao a tutti, non ho idea di come risolvere questo problema di primo grado a più incognite. (E' per il biennio)

Nel triangolo ABC i lati AB e AC superano rispettivamente di 28 cm e 8 cm le loro proiezioni BH e CH sul lato BC. Si conosce il perimetro del triangolo, 504 cm, e si chiede di determinare i lati del triangolo, l'altezza AH e l'area del triangolo. Risultati $[ 200 cm, 234 cm, 70 cm, 56 cm, 6552 cm^2]$

Visti i dati ci sarebbero 4 incognite e solo 3 equazioni (pongo BC= BH+CH)

$\{ (AB=28 + BH),(AC= 8 + CH),(AB+ AC+ BH + CH= 504):}$

Come faccio? Non so come diminuire il numero di incognite. Forse c'è qualche teorema di geometria che non ricordo... Non credo che sia utile riscrivere AB e BC usando Pitagora, e non mi pare che si possa usare Euclide.

[Steven11]

"Athena":
Non credo che sia utile riscrivere AB e BC usando Pitagora, e non mi pare che si possa usare Euclide.

Ma il triangolo è rettangolo o è qualunque?

Ciao.

[Athena3]

"Steven":[quote="Athena"]
Non credo che sia utile riscrivere AB e BC usando Pitagora, e non mi pare che si possa usare Euclide.

Ma il triangolo è rettangolo o è qualunque?

Ciao.[/quote]

Quando il problema non lo specifica dovrebbe essere qualunque, o sbaglio?

[Steven11]

"Athena":
Quando il problema non lo specifica dovrebbe essere qualunque, o sbaglio?

Si, è così.

Adesso non mi viene in mente nulla, forse serve qualche teorema che non conosco/ricordo.
Con quel sistema, ci si può al massimo ricavare $\bar{BC}=234$

[Athena3]

Forse conoscendo BC riesco a fare qualcosa. Puoi spiegarmi come l'hai trovato, per favore?

[Athena3]

"Athena":Forse conoscendo BC riesco a fare qualcosa. Puoi spiegarmi come l'hai trovato, per favore?

Ho capito da sola, non c'è bisogno Ma conoscendo BC che si può fare???

[Sk_Anonymous]

La relazione che manca è quella su AH, poiché $bar(AH)^2=bar(AB)^2-bar(BH)^2$ se si lavora sul triangolo ABH, e $bar(AH)^2=bar(AC)^2-bar(CH)^2$ se si lavora sul triangolo ACH, ne segue che $bar(AB)^2-bar(BH)^2=bar(AC)^2-bar(CH)^2$, credo che con questa equazione aggiuntiva il sistema ammetta soluzione.

[Athena3]

"amelia":La relazione che manca è quella su AH, poiché $bar(AH)^2=bar(AB)^2-bar(BH)^2$ se si lavora sul triangolo ABH, e $bar(AH)^2=bar(AC)^2-bar(CH)^2$ se si lavora sul triangolo ACH, ne segue che $bar(AB)^2-bar(BH)^2=bar(AC)^2-bar(CH)^2$, credo che con questa equazione aggiuntiva il sistema ammetta soluzione.

Ho provato a risolvere il sistema aggiungendo la relazione che dici tu, ma non mi risulta. Forse sbaglio le varie sostituzioni...

[Steven11]

La relazione che ti ha suggerito Amelia è
$bar(AB)^2-bar(BH)^2=bar(AC)^2-bar(CH)^2$
Ma sicuramente conosci come fattorizzare una differenza di quadrati, quindi non ti scandalizzi se la riscrivo così

$(bar(AB)-bar(BH))(bar(AB)+bar(BH))=(bar(AC)-bar(CH))(bar(AC)+bar(CH))$

Ma se guardi il sistema che tu stessa avevi già scritto, ti accorgi che

$bar(AB)-bar(BH)=28$ e che
$bar(AC)-bar(CH)=8$

quindi se usi quest'informazione nell'equazione di sopra, ottieni
$28(bar(AB)+bar(BH))=8(bar(AC)+bar(CH))$
Questa scrittura è migliore della precedente, infatti abbiamo linearizzato l'equazione (ovvero è diventata di primo grado).
Ora i calcoli dovrebbero essere più snelli, guarda un po'.

Ciao.

[Sk_Anonymous]

A me viene questo:
Da: ${(bar(AB)=bar(BH)+28),(bar(AC)=bar(CH)+8):}$ sommando termine a termine si ricava:
$bar(AB)+bar(AC)=bar(BH)+bar(CH)+36$; poiché è $bar(BH)+bar(CH)=bar(BC)$, si ottiene: $bar(AB)+bar(AC)=bar(BC)+36$.
Sommando $bar(BC)$ ad entrambi i termini si ricava: $bar(AB)+bar(AC)+bar(BC)=2*bar(BC)+36$, da cui $bar(BC)=(504-36)/2=234$. La somma dei lati $bar(AB)+bar(AC)=504-234=270$. Dalle ${(bar(BH)=bar(AB)-28),(bar(CH)=AC-8):}$ si ricava:
$bar(BC)=bar(AB)+bar(AC)-36$, perciò i lati $bar(AB)$ e $bar(AC)$ stanno tra loro con la stessa proporzione, ovvero:
$234/36*8=52$ e $234/36*28=182$. Se il triangolo fosse isoscele, i lati AC e AB sarebbero uguali a 135 e la metà della base sarebbe 117, la cui somma è 252, pertanto i lati sono: $bar(BC)=234$, $bar(AB)=252-52=200$ e $bar(AC)=252-182=70$.
Il semiperimetro è $p=(234+70+200)/2=252$ (Oh perbacco, è una legge!);
applicando Erone si ricava: $A_t=sqrt(252(252-234)(252-70)(252-200))=sqrt(252(18)(182)(52))=sqrt(42928704)=6552$
Considerando la base $bar(BC)=234$ si ricava l'altezza: $h=(2*6552)/(234)=56$

[Athena3]

"Steven":La relazione che ti ha suggerito Amelia è
$bar(AB)^2-bar(BH)^2=bar(AC)^2-bar(CH)^2$
Ma sicuramente conosci come fattorizzare una differenza di quadrati, quindi non ti scandalizzi se la riscrivo così

$(bar(AB)-bar(BH))(bar(AB)+bar(BH))=(bar(AC)-bar(CH))(bar(AC)+bar(CH))$

Ma se guardi il sistema che tu stessa avevi già scritto, ti accorgi che

$bar(AB)-bar(BH)=28$ e che
$bar(AC)-bar(CH)=8$

quindi se usi quest'informazione nell'equazione di sopra, ottieni
$28(bar(AB)+bar(BH))=8(bar(AC)+bar(CH))$
Questa scrittura è migliore della precedente, infatti abbiamo linearizzato l'equazione (ovvero è diventata di primo grado).
Ora i calcoli dovrebbero essere più snelli, guarda un po'.

Ciao.

Infatti, adesso risulta. Non avevo pensato a scomporre i polinomi. Grazie mille a tutti!!!