Problema di geometria...

[dfertgredwdhbff]

Potreste risolvere il n.33? Grazie in anticipo!

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Il trucco consiste nel considerare un singolo quadrante come in figura:

il quale è un quadrato di lato

[math]R[/math]

, dunque di area

[math]R^2[/math]

e diagonale

[math]\sqrt{2}\,R[/math]

.
In esso si notano un quarto di cerchio di raggio

[math]R[/math]

, quindi di area

[math]\frac{\pi}{4}R^2[/math]

, e un
quarto di cerchio di raggio

[math](\sqrt{2}-1)\,R[/math]

, quindi di area

[math]\frac{\pi}{4}(\sqrt{2}-1)^2\,R^2\\[/math]

.

Ebbene, l'area della regione tratteggiata è banalmente pari a

[math]R^2 - \frac{\pi}{4}R^2 - \frac{\pi}{4}(\sqrt{2}-1)^2\,R^2 = \frac{2-\pi(2-\sqrt{2})}{2}R^2[/math]

,
che è esattamente un quarto dell'area richiesta. ;)