Problema di Geometria
Buonasera a tutti!
Ho il seguente problema di geometria solida:
"Considerare il rettangolo $OACB$, di dimensioni $OA=a$; $OB=b$. Sia $I$ il punto medio di $OB$ e $M$ un punto variabile del segmento $OA$. Si ponga $OM=x$. Si faccia ruotare la figura successivamente attorno a $CA$, $CB$, $OB$ e si indichino con $V_1$, $V_2$, $V_3$. rispettivamente le misure dei volumi generati dal triangolo $MCI$ in ciascuna di queste rotazioni. Confrontandola con l'area del trapezio $OACI$, calcolare in funzione di $a$, $b$, $x$ la misura $S$ della superficie del triangolo $MCI$. Utilizzare l'espressione così ottenuta per calcolare, in funzione di $a$, $b$, $x$, ciascuno dei volumi $V_1$, $V_2$, $V_3$.".
In linea teorica il problema è abbastanza semplice. Tuttavia non riesco a capire come posso calcolare i volumi indicati sfruttando l'area $S$ del triangolo $MCI$. Avete dei suggerimenti da darmi?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte!
Andrea
Ho il seguente problema di geometria solida:
"Considerare il rettangolo $OACB$, di dimensioni $OA=a$; $OB=b$. Sia $I$ il punto medio di $OB$ e $M$ un punto variabile del segmento $OA$. Si ponga $OM=x$. Si faccia ruotare la figura successivamente attorno a $CA$, $CB$, $OB$ e si indichino con $V_1$, $V_2$, $V_3$. rispettivamente le misure dei volumi generati dal triangolo $MCI$ in ciascuna di queste rotazioni. Confrontandola con l'area del trapezio $OACI$, calcolare in funzione di $a$, $b$, $x$ la misura $S$ della superficie del triangolo $MCI$. Utilizzare l'espressione così ottenuta per calcolare, in funzione di $a$, $b$, $x$, ciascuno dei volumi $V_1$, $V_2$, $V_3$.".
In linea teorica il problema è abbastanza semplice. Tuttavia non riesco a capire come posso calcolare i volumi indicati sfruttando l'area $S$ del triangolo $MCI$. Avete dei suggerimenti da darmi?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte!
Andrea
Risposte
Il libro di testo riporta un suggerimento:
per il calcolo dei volumi $V_1$, $V_2$, $V_3$ si consiglia di trovare le misure delle superfici $S_1$, $S_2$, $S_3$ generate rispettivamente da $MI$ nella rotazione intorno ad $AC$ e a $CB$ e dal segmento $MC$ nella rotazione intorno a $OB$. Se $CH$ ed $IK$ sono le altezze del triangolo $CIM$ e $P$ è il punto medio di $AC$... si noti che si ha $2S=IM*CH=MC*IK$.
Non mi è chiara la strategia ideata dall'estensore dell'esercizio. Perchè dovrei calcolare le superfici? Nel dettaglio, di quali superfici si tratta? A cosa possono servire due delle tre altezze del triangolo $CIM$?
per il calcolo dei volumi $V_1$, $V_2$, $V_3$ si consiglia di trovare le misure delle superfici $S_1$, $S_2$, $S_3$ generate rispettivamente da $MI$ nella rotazione intorno ad $AC$ e a $CB$ e dal segmento $MC$ nella rotazione intorno a $OB$. Se $CH$ ed $IK$ sono le altezze del triangolo $CIM$ e $P$ è il punto medio di $AC$... si noti che si ha $2S=IM*CH=MC*IK$.
Non mi è chiara la strategia ideata dall'estensore dell'esercizio. Perchè dovrei calcolare le superfici? Nel dettaglio, di quali superfici si tratta? A cosa possono servire due delle tre altezze del triangolo $CIM$?
Dovrei pensarci con un po' di calma, ma a colpo d'occhio direi che il libro pensa al teorema di Guldino: il volume di un solido di rotazione è uguale all'area dalla figura che ruota, moltiplicata per la circonferenza descritta dal suo baricentro. La presenza della lettera O suggerisce l'uso della geometria analitica, con la quale è effettivamente facile trovare la posizione del baricentro; per l'area va bene il suggerimento del libro: S(CMI)=S(OACI)-S(IOM)-S(MAC).
I suggerimenti riportati nel secondo intervento mi sono però piuttosto oscuri; suppongo che possano essere un modo per trovare la posizione del baricentro anche senza l'analitica.
I suggerimenti riportati nel secondo intervento mi sono però piuttosto oscuri; suppongo che possano essere un modo per trovare la posizione del baricentro anche senza l'analitica.
S è la relazione che lega a, b, x. Questa relazione è data dalla differenza tra l'area del rettangolo OACB e l'area dei tre triangoli IBC, AMC, OMI.
Non so se è questo il problema.
Non so se è questo il problema.
Vi ringrazio per le risposte date.
Alla fine ho risolto il problema applicando, come suggerito da giammaria, il Teorema di Guldino. Ho tralasciato i suggerimenti riportati nel testo, determinando il baricentro per via analitica.
Grazie ancora!
Andrea
Alla fine ho risolto il problema applicando, come suggerito da giammaria, il Teorema di Guldino. Ho tralasciato i suggerimenti riportati nel testo, determinando il baricentro per via analitica.
Grazie ancora!
Andrea
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