Problema di geometria
Dimostrare che tra i trapezi isosceli circoscritti a una circonferenza quello di area minima è il quadrato.
I lati obliqui sono congruenti essendo il trapezio isoscele; sappiamo inoltre che esso è circoscritto, quindi vale la relazione $B+b=2l$, dove $B$ e $b$ sono le basi maggiore e minore e $l$ il lato obliquo. L'altezza del trapezio è poi uguale al diametro della circonferenza inscritta, per cui l'area del trapezio può essere espressa con la formula $(2l*2r)/2=l*2r$. Essendo $r$ costante, l'area è quindi funzione del solo lato obliquo, ed è minima quando questo ha lunghezza minima. Essendo le basi parallele, il lato obliquo ha lunghezza minima proprio quando "non è più obliquo", ovvero diventa perpendicolare alle basi stesse: questo per la definizione di distanza tra due rette parallele, che è un segmento di perpendicolare. Ma allora il trapezio di area minima ha i quattro angoli retti, ed è quindi un rettangolo; essendo poi circoscritto, dovrà essere per forza un quadrato, in quanto esso è il solo tra i rettangoli a essere circoscrittibile a una circonferenza.
Può andare come dimostrazione o c'è qualche falla nel ragionamento? Vorrei sapere anche se è possibile una risoluzione analitica del problema (mettendo il tutto in un opportuno riferimento cartesiano). Grazie
I lati obliqui sono congruenti essendo il trapezio isoscele; sappiamo inoltre che esso è circoscritto, quindi vale la relazione $B+b=2l$, dove $B$ e $b$ sono le basi maggiore e minore e $l$ il lato obliquo. L'altezza del trapezio è poi uguale al diametro della circonferenza inscritta, per cui l'area del trapezio può essere espressa con la formula $(2l*2r)/2=l*2r$. Essendo $r$ costante, l'area è quindi funzione del solo lato obliquo, ed è minima quando questo ha lunghezza minima. Essendo le basi parallele, il lato obliquo ha lunghezza minima proprio quando "non è più obliquo", ovvero diventa perpendicolare alle basi stesse: questo per la definizione di distanza tra due rette parallele, che è un segmento di perpendicolare. Ma allora il trapezio di area minima ha i quattro angoli retti, ed è quindi un rettangolo; essendo poi circoscritto, dovrà essere per forza un quadrato, in quanto esso è il solo tra i rettangoli a essere circoscrittibile a una circonferenza.
Può andare come dimostrazione o c'è qualche falla nel ragionamento? Vorrei sapere anche se è possibile una risoluzione analitica del problema (mettendo il tutto in un opportuno riferimento cartesiano). Grazie
Risposte
Mi sembra inattaccabile.
Il ragionamento mi sembra corretto. Il lato obliquo ha lunghezza minima quando coincidi con la distanza tra le due basi.
Circa il metodo analitico, di che hanno stiamo parlando? III anno o V liceo?
Circa il metodo analitico, di che hanno stiamo parlando? III anno o V liceo?
Quinta...derivate a tutto spiano 
La derivata prima rispetto alla variabile l è A'=2r, quindi l'area è sempre crescente. Il valore minimo di A si ottiene per il valore minimo di l. Inizialmente occorre porre come limiti $l>=2r$. Quindi il valore minimo di l è appunto 2r, quando il lato obliquo coincide con l'altezza.
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