Problema di geometria 2 Liceo scientifico;Per lunedi 14/03

[Federicovic1]

In una circonferenza,il cui raggio misura R,è inscritto un trapezio isoscele contenente il centro e avente per basi il lato del triangolo equilatero e quello dell'esagono regolare inscritti nella stessa circonferenza.Calcola la misura del perimetro e dell'area del trapezio.


Grazie;N 141 dalla foto

[Matefisico]

Ecco la soluzione ;)

[rossiandrea]

Fatto il disegno, nomino ogni angolo, in senso orario, partendo dal vertice in alto del triangolo (ho disegnato il triangolo in modo da avere le basi in orizzontale, sia del triangolo, sia del trapezio, sia dell'esagono.
In questo modo ti ritrovi con i seguenti poligoni:
Triangolo: ADG
Trapezio: BDGI
Esagono: BCEFHI
Lato dell'esagono regolare BI = r
Lato del triangolo equilatero DG =

[math]r \sqrt{3}[/math]

Dal centro della circonferenza O, traccia l'apotema MO del triangolo, con M punto medio di DG.

[math]MO = \sqrt{DO^2-DM^2} = \sqrt{ r^2 - \frac{3r^2}{4}} = r/2[/math]

Ora traccia l'apotema NO dell'esagono con N punto medio di BI

[math]NO = \sqrt{ BO^2-BN^2 } = \sqrt{r^2- \frac{r^2}{4}} = \frac{ \sqrt{3} r}{2}\\[/math]

Traccia l'altezza del trapezio BL.

[math]BL = MN = MO + NO = \frac{r( \sqrt{3}+1)}{2} \\

2 DL = DG - BI\\
DL = \frac{ DG-BI}{2} = \frac{ r \sqrt{3} - r }{ 2 } \\
BD = \sqrt{DL^2+BL^2} = \sqrt { \frac{ r^2( \sqrt{3} -1)^2}{4} + \frac{ r^2( \sqrt{3} +1)^2}{4} } = \sqrt{2} r \\
P = BD + DG + GI + IB = 2 \sqrt{2} r + r + \sqrt{3} r = r ( 1+2 \sqrt{2} + \sqrt{3} )\\
S = \frac{ (DG+BI)BL}{2} = \frac{r( \sqrt{3} + 1 ) r ( \sqrt{3} + 1 ) }{ 4 } = \frac{ r^2 ( \sqrt{3} + 1 )^2 }{4} = \frac{ 2 + \sqrt{3}}{2} r^2 \\
[/math]

I calcoli non te li ho scritti passo per passo, ma quasi. Comunque, se non ti dovesse tornare qualcosa, chiedi pure. :-)
Spero ti sia stato d'aiuto ;-)
Ciao

[Matefisico]

Ops ti ho risolto il 143