Problema di geometria

[simpronic]

Salve gruppo. Vorrei sottoporre il seguente teorema di geometria che dovrei risolvere con i teormei di Euclide,Pitagora o Talete.
Ho provato a risolverlo ma non riesco proprio.
In un triangolo rettangolo ABC, l'ipotenusa BC è lunga 25 $ sqrt(3) $ cm e il cateto AB è i $ \frac{3}{4} $ di AC.

a) Calcola la lunghezza della bisettrice BE dell'angolo B_hat.

b) Disoegna l'altezza AH relativa all'ipotenusa e traccia la bisettrice AF dell'angolo CA_hatH.
Dimostra che le due bisettrici BE e AF sono perpendicolari e calcola la distanza del vertice A dalla bisettrice BE

Grazie a chi può aiutarmi

[Quinzio]

Sappiamo che $AB^2+AC^2= BC^2$, quindi $9/16 AC^2+AC^2 = 25^2 * 3$

Da cui $AC^2 = 16/25 *25^2 * 2$

$AC = 20 \sqrt3$ e $AB = 15\sqrt 3$

a) Per calcolare $BE$ l'unico modo che mi viene in mente e' usare la formula di bisezione del coseno
$cos (x/2) = \sqrt{(1+cos x)/2}$
ovvero

$(AB)/(BE) = \sqrt{(1+(AB)/(BC))/2} = 2\sqrt{1/5}$
da cui
$BE = 15/2 \sqrt{15} $

b)
dovresti notare che $ABF$ e $ABC$ sono simili e quindi $\hat {CAF} = \hat {ABC}$
Chiamiamo $I$ l'intersezione delle bisettrici e quindi
$\hat {AIB} = 180 - \hat {ABC} - \hat {IAB} = 180 - \hat {ABC} - (90 - \hat {CAF}) = 180 - \hat {ABC} - (90 - \hat {ABC}) = 90$
Quindi le bisettrici sono perpendicolari.

Calcoliamo la distanza del vertice A dalla bisettrice BE

Si calcola l'area di $ABE$ (doppia) e la si divide per l'ipotenusa $BE$

$(2\ ABE)/(BE) = (2\ AB * AE)/(BE)$

[HowardRoark]

"Quinzio":

a) Per calcolare $BE$ l'unico modo che mi viene in mente e' usare la formula di bisezione del coseno
$cos (x/2) = \sqrt{(1+cos x)/2}$
ovvero

$(AB)/(BE) = \sqrt{(1+(AB)/(BC))/2} = 2\sqrt{1/5}$
da cui
$BE = 15/2 \sqrt{15} $

In realtà a me $BE$ viene diverso. Per il teorema della bisettrice, $(AB)/(BC) = (AE)/(CE) => (AB + BC)/(AB) = (AE + CE)/(AE) => (40sqrt(3))/(15sqrt(3)) = (20sqrt(3))/(AE) => AE = 15/2 sqrt(3)$.

Poi, $BE$ lo calcolerei col teorema di pitagora: $BE = sqrt((15sqrt(3))^2 + (15/2 sqrt(3))^2)$, ma sicuramente sto sbagliando qualcosa io.

[Quinzio]

Se ci guardi bene, vedrai che sono uguali. Hai provato a semplificare quei calcoli sotto la radice ?

[HowardRoark]

Scusa, avevo letto che $BE$ ti venisse $15/2 sqrt(3)$