Problema di geometria
Salve a tutti, premetto che è il mio primo messaggio per cui chiedo scusa per eventuali mancanze. Scrivo perché ritengo di aver risolto correttamente un problema di geometria ma che non rispecchia i risultati proposti dal libro. La traccia è la seguente:
" Su una semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r scegli un punto P in modo che, costruito il triangolo equilatero APQ esterno alla semicirconferenza, risulti QO= r (radicequadrata(3) +1)/2."
Ho risolto nel seguente modo: disegno la semicirconferenza di diametro AB, il punto P sulla semicirconferenza e il punto Q all'esterno, al di sopra del semicerchio (non credo di aver interpretato male la traccia a riguardo, ma non lo escludo). Sfruttando le proprietà dei triangoli isosceli (traccio i due raggi OA e OP) ed equilateri (APQ) che si vengono a costruire vedo il segmento QO come QO=QH + HO, dove H è il punto medio della corda AP. A questo punto, applico il teorema della corda e scrivo AP=2 r sen(90-alfa) dove alfa è l'angolo PAB (ho sfruttato la somma degli angoli interni di un triangolo e la proprietà degli angoli alla base uguali per un triangolo isoscele). A questo punto scrivo QH=2 r sen(90 - alfa) cos (60°) (triangolo equilatero); OH = r sen(alfa) (triangolo rettangolo OHA). Ottengo una equazione trigonometrica nella sola incognita alfa che si risolve agevolmente con le formule parametriche. Il libro riporta due risultati possibili alfa=15° , alfa=45° . Non mi trovo coi risultati, non credo di commettere errori concettuali, chiedo pareri esperti, grazie molte e spero di essere stato chiaro nell'esposizione del procedimento adottato.
" Su una semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r scegli un punto P in modo che, costruito il triangolo equilatero APQ esterno alla semicirconferenza, risulti QO= r (radicequadrata(3) +1)/2."
Ho risolto nel seguente modo: disegno la semicirconferenza di diametro AB, il punto P sulla semicirconferenza e il punto Q all'esterno, al di sopra del semicerchio (non credo di aver interpretato male la traccia a riguardo, ma non lo escludo). Sfruttando le proprietà dei triangoli isosceli (traccio i due raggi OA e OP) ed equilateri (APQ) che si vengono a costruire vedo il segmento QO come QO=QH + HO, dove H è il punto medio della corda AP. A questo punto, applico il teorema della corda e scrivo AP=2 r sen(90-alfa) dove alfa è l'angolo PAB (ho sfruttato la somma degli angoli interni di un triangolo e la proprietà degli angoli alla base uguali per un triangolo isoscele). A questo punto scrivo QH=2 r sen(90 - alfa) cos (60°) (triangolo equilatero); OH = r sen(alfa) (triangolo rettangolo OHA). Ottengo una equazione trigonometrica nella sola incognita alfa che si risolve agevolmente con le formule parametriche. Il libro riporta due risultati possibili alfa=15° , alfa=45° . Non mi trovo coi risultati, non credo di commettere errori concettuali, chiedo pareri esperti, grazie molte e spero di essere stato chiaro nell'esposizione del procedimento adottato.
Risposte
Ciao, benvenuto.
Credo che l'errore sia nel calcolo di QH dove hai moltiplicato l'ipotenusa per il coseno dell'angolo opposto non per il seno. Non ho terminato il calcolo, ma mi pare che il resto sia crretto.
Credo che l'errore sia nel calcolo di QH dove hai moltiplicato l'ipotenusa per il coseno dell'angolo opposto non per il seno. Non ho terminato il calcolo, ma mi pare che il resto sia crretto.
ho sbagliato a scrivere nel testo sopra ma ho moltiplicato per il seno dell'angolo opposto quindi il problema non è qui... prende sempre più piede l'ipotesi di un errore del libro... magari se completi mi dici quanto ti trovi... l'equazione finale che mi trovo è: (radice(3)+1)/2=radice(3)sen(90-alfa)+sen(alfa) chiaramente non ha come soluzione nessuna di quelle proposte dal libro, mi basta sapere che ti trovi la stessa equazione finale (cominciavo a pensare a una cattiva interpretazione del disegno anche perché non so se davvero si può parlare di triangolo esterno alla circonferenza... di fatto una parte di esso è incluso nel semicerchio necessariamente se un lato è costituito dalla corda AP). Grazie della disponibilità e della tempestiva risposta e complimenti per il sito.
$QH=AQ*sen60°=AP*sen60°=2*r*cosalpha*sqrt(3)/2=r*sqrt(3)*cos alpha$.
Per cui
$QO=QH+HO=r*sqrt(3)*cos alpha+r*senalpha=r*2*sen(alpha+pi/3)$
e l'equazione diventa
$r*(sqrt(3)+1)/2=r*2*sen(alpha+pi/3)$
$(sqrt(3)+1)/4=sen(alpha+pi/3)$
Edit: Corretto l'errore segnalato
Sicuro di aver copiato bene il testo, e che invece non sia $QO= r (sqrt(3) +1)/sqrt(2)$.?
Per cui
$QO=QH+HO=r*sqrt(3)*cos alpha+r*senalpha=r*2*sen(alpha+pi/3)$
e l'equazione diventa
$r*(sqrt(3)+1)/2=r*2*sen(alpha+pi/3)$
$(sqrt(3)+1)/4=sen(alpha+pi/3)$
Edit: Corretto l'errore segnalato
Sicuro di aver copiato bene il testo, e che invece non sia $QO= r (sqrt(3) +1)/sqrt(2)$.?
Chiaretta ma sen(60°) non fa 1/2
Hai ragione. Ho corretto...
questa è una foto della traccia... a questo punto hai ragione: manca una radice al denominatore, in tal modo si troverebbero entrambe le soluzioni proposte dal libro.
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