Problema di geometria (103989)

[pasku]

è dato un triangolo ottusangolo in B con AB cm 12 ed AC = cm 24. il punto P di AB e il punto Q di AC sono tali che AP = AQ; la corda PQ è lunga cm 4√2. sapendo che il segmento AP è medio proporzionale tra BP e CQ determinare il perimetro dei triangoli APQ e ABC

[Max 2433/BO]

Sappiamo che AP è medio proporzionale tra BP e CQ, per cui possiamo scrivere la proporzione:

BP:AP = AP:CQ

ma

BP = AB - AP = 12 - AP

CQ = AC - AQ = 24 - AQ

ed essendo AP=AQ

CQ = 24 - AP

sostituendo nella proporzione otteniamo:

(12-AP):AP = AP: (24-AP)

moltiplichiamo medi ed estremi

(12-AP)(24-AP) = AP^2

288 - 12AP - 24AP + AP^2 = AP^2

riduciamo e separiamo i termini in AP dai numeri

-36AP = -288

da cui

AP = 288/36 = 8 cm

Il perimetro del triangolo APQ è quindi pari a:

[math] P_{APQ} = AP + AQ + PQ = 2\;.\;8 + 4\;.\;\sqrt {2} = 4\;.\;(4 + \sqrt {2})\;cm [/math]

Conduciamo la parallela a PQ in B, ottenendo il punto k all'intersezione con AC.

Il triangolo ABK è simile al triangolo APQ per il primo criterio (essendo BK // PQ per costruzione, gli angoli interni dei due triangoli sono ordinatamente congruenti).

Di conseguenza possiamo mettere i lati ordinatamente in proporzione:

AP:AB = PQ:BK

ricaviamo BK

[math] BK = \frac {AB*PQ}{AP} = \frac {12\;.\;4\;.\;\sqrt {2}}{8}= 6\;.\;\sqrt {2}\;cm [/math]

Da notare che se i due triangoli sono simili essendo AP=AQ, allora anche AB sarà uguale a AK, ma essendo AB = 12 cm e AC = 24 cm, ne deriva che il segmento BK è la mediana del triangolo ABC relativa al lato AC.

Possiamo allora ricorrere alla formula della mediana per calolare la misura del lato mancante:

[math] BK = \frac {1}{2}\;.\;\sqrt {2\;.\;(BC^2+AB^2)-AC^2} [/math]

eleviamo tutto al quadrato ed otteniamo

[math] BK^2 = \frac {1}{4}\;.\;2\;.\;(BC^2+AB^2)-AC^2 [/math]

da cui ricaviamo che BC vale

[math] BC = \sqrt {\frac {4\;.\;BK^2 - 2\;.\;AB^2 + AC^2}{2}} [/math]

[math] BC = \sqrt {\frac {4\;.\;72 - 2*144 + 576}{2}} = 12\;.\;\sqrt {2} \;cm[/math]

e da qui ti puoi ricavare tranquillamente il perimetro anche del triangolo ABC.

.... ecco a te.

:hi

Massimiliano

[pasku]

grazie milleeeeee :D :D

[Max 2433/BO]

Prego, di nulla...

:hi