Problema di geom.

[ale-97]

Un problema ke nn riesco a risolvere: prisma retto con base un trapezio isoscele e l'area di 48,80 cm e altezza 8 cm. il rapporto tra la base magg e quella min è di 50/11 (frazione)e l'altezza del prisma è 3/5 della base magg.. area totale???

[BIT5]

Prima di tutto applichi la formula inversa dell'Area del trapezio:

Sapendo che l'area e':

[math] A= \frac{(B+b) \cdot h}{2} [/math]

Applichi la formula inversa e ottieni che

[math] (B+b)= \frac{2 \cdot A}{h} = \frac{2 \cdot 48,80}{8} = 12,20 [/math]

Quindi la somma delle basi e' 12,20cm.

Sai anche che le basi hanno un rapporto 50/11.

Questo vuol dire che se prendi la base minore, la dividi in 11 parti uguali e prendi 50 di queste parti hai la base maggiore.

Quindi la base minore e' formata da 11 parti e la base maggiore da 50 parti.

La somma dunque sara' di 61 parti uguali (dette unita' frazionarie)

E quindi 61un.fr. = 12,20

Una unita' frazionaria = 12,20 : 61 = 0,20

E quindi le due basi saranno:

11 x 0,20 = 2,20
50 x 0,20 = 10,00

Un altro metodo era l'utilizzo delle proporzioni e delle loro proprieta':

Sai che

[math] B : b = 50 : 11 [/math]

Applicando la proprieta' del comporre

[math] (B+b) : b = (50+11) : 11 [/math]

E siccome B+b=2,20 (l'abbiamo trovato prima con la formula inversa) allora

[math] 12,20 : b = 61 : 11 \to b= \frac{11 \cdot 12,20}{61} = 2,20 [/math]

E quindi poi ricavi B sempre con la medesima proporzione:

[math] B : 2,20 = 50 : 11 [/math]

L'altezza del prisma e' 3/5 della base maggiore, quindi e' 10 x 3/5 = 9.

Per calcolare la superficie totale del prisma considera che essa e' formata da:

2 trapezi isoscele (la base e il "coperchio" ) di cui conosci la superficie;
4 rettangoli con stessa altezza, ma che hanno come base, rispettivamente la Base Maggiore del trapezio, quella minore e i lati obliqui (in questo caso uguali perche' il trapezio e' isoscele).

Non abbiamo i lati obliqui del trapezio...

Considera un trapezio isoscele.
Traccia le altezze.
Esse lo dividono in un rettangolo centrale(avente come base la base minore e come altezza l'altezza del trapzio) e due triangoli rettangoli, aventi come cateti l'altezza del trapezio e la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore, e come ipotenusa il lato obliquo.

Calcoliamo la lunghezza delle proiezioni:

Toglieno dalla base maggio re, la base minore (quindi 10 - 2,2 = 7,80) ti rimane la lunghezza delle due proiezioni.

Dividendo per due (siccome le due proiezioni sono uguali perche' il trapezio e' isoscele) trovi una proiezione (7,80 : 2 = 3,90).

Ora hai il cateto del triangolo rettangolo.

Con Pitagora, ricaviamo dunque l'ipotenusa (il lato obliquo del trapezio)

[math] l= \sqrt{3,90^2+8^2}= \sqrt{15,21+64}= \sqrt{79,21}=8,9 [/math]

Ora hai tutto per calcolare la superficie totale, ovvero:

base del prisma (te la da' il problema) 48,80
"coperchio" del prisma 48,80

Superficie laterale:
un rettangolo 2,20x8
un rettangolo 10x8
2 rettangoli 8,90x8

Sommi e hai concluso ;)