Problema di esame di stato
esame di stato di liceo scientifico 2008 lo so che su internet ci sono le soluzioni ma vorrei capire o almeno cercare di capire il problema per vedere se riesco a farlo . cio il problema :
Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si considerino i triangoli ABC con $A (1, 0)$, $B(3, 0)$ e C variabile sulla retta d’equazione $y=2x$
1. Si provi che i punti $(1, 2)$ e $(3/5;6/5)$ corrispondono alle due sole posizioni di C per cui è $ACB = pigrego/4$.
allora ho questo punto C che varia nella retta il punto C dove la Y è due volte più grande della x
cio l'equazione dell cerchio $(x-a)^2 - (y-b)^2=r^2$ ho tutti i datti trane il raggio. e non capisco come trovo il raggio ,ho pensato avendo il centro la distanza fra due punti .ma il centro non ce lo . ho provat con la formula distanza punto retta ma viene $b=-4$ perfavore qualcuno mi indicherebbe come trovare il centro della circonferenza ? lo so che il centro si trova $(-a/2b;-b/2)$ ma non avendo l'equazione non lo posso usare questa formula .
Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si considerino i triangoli ABC con $A (1, 0)$, $B(3, 0)$ e C variabile sulla retta d’equazione $y=2x$
1. Si provi che i punti $(1, 2)$ e $(3/5;6/5)$ corrispondono alle due sole posizioni di C per cui è $ACB = pigrego/4$.
allora ho questo punto C che varia nella retta il punto C dove la Y è due volte più grande della x
cio l'equazione dell cerchio $(x-a)^2 - (y-b)^2=r^2$ ho tutti i datti trane il raggio. e non capisco come trovo il raggio ,ho pensato avendo il centro la distanza fra due punti .ma il centro non ce lo . ho provat con la formula distanza punto retta ma viene $b=-4$ perfavore qualcuno mi indicherebbe come trovare il centro della circonferenza ? lo so che il centro si trova $(-a/2b;-b/2)$ ma non avendo l'equazione non lo posso usare questa formula .
Risposte
Ti do un hint con un'idea diversa (io ho seguito questa strada): poiché [tex]$C$[/tex] giace sulla retta [tex]$y=2x$[/tex], le sue coordinate generiche saranno [tex]$C(x_{c};2x_{c})$[/tex]. Detto poi [tex]$\alpha$[/tex] l'angolo acuto [tex]$\hat {ACB}$[/tex], si vuole di fatto che [tex]$\alpha=\frac{\pi}{4}$[/tex]. Detti rispettivamente [tex]$\beta$[/tex] e [tex]$\gamma$[/tex] gli angoli che le rette [tex]$BC$[/tex] e [tex]$AC$[/tex] formano con il semiasse positivo delle ascisse, si ha, ricordando le nozioni di trigonometria apprese in passato, che [tex]$\tan \alpha=\tan(\beta-\gamma)=\frac{\tan \beta - \tan \gamma}{1+\tan \beta \cdot \tan \gamma}=\frac{m-m'}{1+m \cdot m'}$[/tex]. Ma poiché del resto è necessario che risulti [tex]$\tan \alpha=\tan \frac{\pi}{4}$[/tex], sarà sufficiente risolvere la seguente: [tex]$\tan \frac{\pi}{4}=\frac{m_{BC} - m_{AC}}{1+m_{BC} \cdot m_{AC}}$[/tex], dove per il calcolo di [tex]$m_{BC}$[/tex] e [tex]$m_{AC}$[/tex] si dovranno utilizzare le coordinate di [tex]$C$[/tex] scritte nella sola variabile [tex]$x_{c}$[/tex] (o in un'altra, a piacere), come indicato in principio.
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