Problema di analitica che non capisco
Sentite questo esercizio:
Data la retta r di equazione $3x-2y+1=0$ ,risolvere i seguenti quesiti :
a.determinare le equazioni delle rette $r_1$ e $r_2$ passanti per $A(2;0)$ e formati con r un angolo di ampiezza $pi/4$.
mmm me ne vergogno ma non riesco a sfruttare l'angolo...ad occhio considero il fascio di rette passante per A poi posso intersecarlo con la retta r...ottengo un punto,diciamo B, che espresso in funzione di m...ma poi come procedo? Mi sa che mi serve una equazione di secondo grado che non riesco a ricavare...
Data la retta r di equazione $3x-2y+1=0$ ,risolvere i seguenti quesiti :
a.determinare le equazioni delle rette $r_1$ e $r_2$ passanti per $A(2;0)$ e formati con r un angolo di ampiezza $pi/4$.
mmm me ne vergogno ma non riesco a sfruttare l'angolo...ad occhio considero il fascio di rette passante per A poi posso intersecarlo con la retta r...ottengo un punto,diciamo B, che espresso in funzione di m...ma poi come procedo? Mi sa che mi serve una equazione di secondo grado che non riesco a ricavare...
Risposte
Ciao!
Per evitare conti indica con $alpha$ e $beta$,rispettivamente,
gli angoli formati con l'asse delle ascisse da $r$ e la generica retta del fascio di rette di centro A
(conveniamo,per fissar le idee,che$vec(x)text{ }$si stia "chiudendo" verso entrambe);
ci son due uguaglianze,entrambe coinvolgenti $tg(alpha-beta)$,che devon valere contemporaneamente per le rette richieste:
una è "numerica",e l'altra contiene il parametro che vuoi "sparametrizzare" in una delle rette da te cercate
!
A quel punto magari facci sapere come salta fuori l'altra
(osserva,se trovi modo di fartelo tornar utile,che la retta parametrica formante,con quella data,un angolo d'ampiezza $pi/4$,
potrebbe esser sia "sopra" che "sotto" quella nota..):
o fà un fischio se non la trovi!
Saluti dal web.
Per evitare conti indica con $alpha$ e $beta$,rispettivamente,
gli angoli formati con l'asse delle ascisse da $r$ e la generica retta del fascio di rette di centro A
(conveniamo,per fissar le idee,che$vec(x)text{ }$si stia "chiudendo" verso entrambe);
ci son due uguaglianze,entrambe coinvolgenti $tg(alpha-beta)$,che devon valere contemporaneamente per le rette richieste:
una è "numerica",e l'altra contiene il parametro che vuoi "sparametrizzare" in una delle rette da te cercate
!A quel punto magari facci sapere come salta fuori l'altra
(osserva,se trovi modo di fartelo tornar utile,che la retta parametrica formante,con quella data,un angolo d'ampiezza $pi/4$,
potrebbe esser sia "sopra" che "sotto" quella nota..):
o fà un fischio se non la trovi!
Saluti dal web.
Ciao,
se non hai ancora affrontato la goniometria e vuoi risolvere il problema con gli strumenti della .. diciamo 3° superiore, puoi scrivere l'equazione della generica retta passante per A (2,0) y=mx-2m , poi l'equazione della retta perpendicolare a questa nello stesso punto y = - (1/m)x + 2/m , determinare l'equazione della bisettrice di queste due rette (non devi nemmeno elevare al quadrato) ed imporre che il coeff. angolare della bisettrice coincida con quello della retta che ti è stata assegnata.
Il problema di porre m $!=$ 0 non ti si pone perchè la retta r assegnata non è parallela alle bisettrici dei quadranti.
Spero di esserti stato utile
se non hai ancora affrontato la goniometria e vuoi risolvere il problema con gli strumenti della .. diciamo 3° superiore, puoi scrivere l'equazione della generica retta passante per A (2,0) y=mx-2m , poi l'equazione della retta perpendicolare a questa nello stesso punto y = - (1/m)x + 2/m , determinare l'equazione della bisettrice di queste due rette (non devi nemmeno elevare al quadrato) ed imporre che il coeff. angolare della bisettrice coincida con quello della retta che ti è stata assegnata.
Il problema di porre m $!=$ 0 non ti si pone perchè la retta r assegnata non è parallela alle bisettrici dei quadranti.
Spero di esserti stato utile
Ragazzi vi ringrazio entrambi per i suggerimenti!Questo problema mi ha lasciato senza idee...
Il problema può essere risolto per via elementare senza formule aggiuntive, oltre quelle di rette e circonferenze
e relative intersezioni.
Con riferimento alla figura, sia n la perpendicolare per A alla retta data r e T la sua intersezione con r. Si descriva
la circonferenza di centro T e raggio TA e siano B e C le sue intersezioni con r.
E' facile dimostrare per via puramente geometrica che le rette richieste ( indicate nella figura con \(\displaystyle r_1,r_2 \) ) sono le rette congiungenti A con B e C. Le equazioni di tali rette si ottengono con calcoli elementari, ancorché un tantino
fastidiosi.
Per controllo posto i risultati a cui sono pervenuto (sperando senza errori ...)
Retta n : \(\displaystyle 2x+3y=4 \)
Intersezione T tra r ed n : \(\displaystyle T \equiv \left(\frac{5}{13},\frac{14}{13} \right) \)
Distanza TA : \(\displaystyle TA^2=\frac{49}{13} \)
Equazione della circonferenza \(\displaystyle \gamma \) di centro T e raggio TA :
\(\displaystyle \left (x-\frac{5}{13}\right)^2+\left(y-\frac{14}{13}\right)^2=\frac{49}{13}\)
Intersezioni di r con \(\displaystyle \gamma \) :
\(\displaystyle B\equiv \left(-\frac{9}{13},-\frac{7}{13}\right) ,C\equiv \left(\frac{19}{13},\frac{35}{13}\right) \)
Equazioni delle rette \(\displaystyle r_1=AC,r_2=AB \) :
\(\displaystyle r_1 : 5x+y-10=0,r_2 : x-5y-2=0 \)
E' facile verificare che le rette AB e AC sono perpendicolari e formano con r angoli di 45. Come richiesto.
Retta n : \(\displaystyle 2x+3y=4 \)
Intersezione T tra r ed n : \(\displaystyle T \equiv \left(\frac{5}{13},\frac{14}{13} \right) \)
Distanza TA : \(\displaystyle TA^2=\frac{49}{13} \)
Equazione della circonferenza \(\displaystyle \gamma \) di centro T e raggio TA :
\(\displaystyle \left (x-\frac{5}{13}\right)^2+\left(y-\frac{14}{13}\right)^2=\frac{49}{13}\)
Intersezioni di r con \(\displaystyle \gamma \) :
\(\displaystyle B\equiv \left(-\frac{9}{13},-\frac{7}{13}\right) ,C\equiv \left(\frac{19}{13},\frac{35}{13}\right) \)
Equazioni delle rette \(\displaystyle r_1=AC,r_2=AB \) :
\(\displaystyle r_1 : 5x+y-10=0,r_2 : x-5y-2=0 \)
E' facile verificare che le rette AB e AC sono perpendicolari e formano con r angoli di 45. Come richiesto.
Condivido i risultati.
Il procedimento che ti ho proposto parte dalla constatazione che, se le due rette formano entrambe un angolo di 45° con la retta r assegnata, o sono fra loro coincidenti oppure perpendicolari. Visto che ti vengono chieste due rette distinte siamo nel secondo caso.
Secondo presupposto è che se se una retta s forma con la retta r un certo angolo, tutte le parallele a s formano con r lo stesso angolo (cambia solo il punto in cui si intersecano)
Da queste considerazioni la soluzione proposta: scrivi l'equazione di due generiche rette fra di loro perpendicolari e passanti per il punto A
Al variare di m, che rimane l'unico parametro delle equazioni, hai una coppia di rette che ruotano mantenendosi perpendicolari fra loro. L'unica coppia di rette non rappresentata da questo fascio è quella che hai (anzi, che non hai) per m=0 perchè ti perdi la corrispondente retta parallela all'asse y.
Ma non è il tuo caso perchè le due rette cercate coinciderebbero con le parallele agli assi per A(2;0) solo se la retta che ti è stata assegnata fosse parallela ad una delle bisettrici dei quadranti e non lo è. Se lo fosse stata avresti scritto immediatamente le eq. delle rette cercate senza troppe elaborazioni.
Se quindi scrivi l'equazione della bisettrice di queste due generiche rette perpendicolari fra loro e imponi che il coefficiente angolare di questa bisettrice sia uguale a quello della retta che ti è stata assegnata, individui quell'unico valore di m che sostituito nelle equazioni generiche delle "rette rotanti" le fissano nella posizione cercata.
Credimi è molto più estenuante raccontarlo che eseguire i conti che sono veramente semplicissimi:
Generica retta s : y=mx+q
Passaggio di s per punto A (2;0) $->$ y=mx - 2m
Generica retta t $\bot$ s : y =$-1/m$ x +k
Passaggio di t per A $->$ y=$-1/m$ x + $2/m$
Scrittura dell'eq. della bisettrice $|mx - y -2m|$ =$|my + x - 2|$ dove ho già semplificato per il denominatore $sqrt(1 + m^2)$ che è sempre $!=$ 0
A questo punto puoi tranquillamente levare il modulo (rifletti sul perchè puoi farlo senza perdere una soluzione) ottenendo l'equazione di una delle bisettrici il cui coeff. angolare deve essere = a quello della retta assegnata
$(m-1)/(m+1)$ = $3/2$ da cui ottieni m = - 5 che sostituisci nelle eq. delle rette perpendicolari fra loro ottenendo le eq. cercate.
Ultima minuscola osservazione: quell' m $!=$ -1 che ti trovi a dover porre nell'equazione risolutiva in m, esclude che la retta che ti è stata assegnata sia parallela all'asse y.
Il procedimento che ti ho proposto parte dalla constatazione che, se le due rette formano entrambe un angolo di 45° con la retta r assegnata, o sono fra loro coincidenti oppure perpendicolari. Visto che ti vengono chieste due rette distinte siamo nel secondo caso.
Secondo presupposto è che se se una retta s forma con la retta r un certo angolo, tutte le parallele a s formano con r lo stesso angolo (cambia solo il punto in cui si intersecano)
Da queste considerazioni la soluzione proposta: scrivi l'equazione di due generiche rette fra di loro perpendicolari e passanti per il punto A
Al variare di m, che rimane l'unico parametro delle equazioni, hai una coppia di rette che ruotano mantenendosi perpendicolari fra loro. L'unica coppia di rette non rappresentata da questo fascio è quella che hai (anzi, che non hai) per m=0 perchè ti perdi la corrispondente retta parallela all'asse y.
Ma non è il tuo caso perchè le due rette cercate coinciderebbero con le parallele agli assi per A(2;0) solo se la retta che ti è stata assegnata fosse parallela ad una delle bisettrici dei quadranti e non lo è. Se lo fosse stata avresti scritto immediatamente le eq. delle rette cercate senza troppe elaborazioni.
Se quindi scrivi l'equazione della bisettrice di queste due generiche rette perpendicolari fra loro e imponi che il coefficiente angolare di questa bisettrice sia uguale a quello della retta che ti è stata assegnata, individui quell'unico valore di m che sostituito nelle equazioni generiche delle "rette rotanti" le fissano nella posizione cercata.
Credimi è molto più estenuante raccontarlo che eseguire i conti che sono veramente semplicissimi:
Generica retta s : y=mx+q
Passaggio di s per punto A (2;0) $->$ y=mx - 2m
Generica retta t $\bot$ s : y =$-1/m$ x +k
Passaggio di t per A $->$ y=$-1/m$ x + $2/m$
Scrittura dell'eq. della bisettrice $|mx - y -2m|$ =$|my + x - 2|$ dove ho già semplificato per il denominatore $sqrt(1 + m^2)$ che è sempre $!=$ 0
A questo punto puoi tranquillamente levare il modulo (rifletti sul perchè puoi farlo senza perdere una soluzione) ottenendo l'equazione di una delle bisettrici il cui coeff. angolare deve essere = a quello della retta assegnata
$(m-1)/(m+1)$ = $3/2$ da cui ottieni m = - 5 che sostituisci nelle eq. delle rette perpendicolari fra loro ottenendo le eq. cercate.
Ultima minuscola osservazione: quell' m $!=$ -1 che ti trovi a dover porre nell'equazione risolutiva in m, esclude che la retta che ti è stata assegnata sia parallela all'asse y.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo