Problema di analitica 225
Data l'ellisse avente come asse focale l'asse x ,eccentricità $e=sqrt(3)/2 $ e passante per il punto $(-1;sqrt(3)/2)$,determinare:
a. le equazioni delle rette perpendicolari alla bisettrice del 2° e 4° quadrante aventi distanza uguale a 1 dal fuoco di ascissa positiva;
b.l'equazione della parabola passante per i punti $(0;-1)$,$(0;1)$ e il cui vertice appartiene alla retta $y=x-4$;
c.un punto P dell'elisse di ordinata positiva tale che ,detta M la sua proiezione sull'asse x e A il vertice dell'ellisse di ascissa negativa,si abbia:
$bar(AM)+bar(PM)=k$,$k in R+$
SVOLGIMENTO:
Trovo i seguenti dati:
$x^2/4+y^2=1$,
$x-y-sqrt(3)-sqrt(2)=0$,
$x-y-sqrt(3)+sqrt(2)=0$,
$x=-4y^2+4$,
L'ultima parte dell'esercizio mi da problemi:
$x=+-2sqrt(1-y^2)$,
$P(2sqrt(1-y^2);y)$,
$M(2sqrt(1-y^2);0)$,
$A(-2;0)$,
$bar(AM)=2sqrt(1-y^2)+2$,
$bar(PM)=y$,
in pratica ottengo:
$y^2+2y(4-k)+k^2-4k=0$
e
$0<=y<=1$
ottengo come soluzione
$0<=k<=4$,
ma il libro vuole anche:
$4<=k<=2+sqrt(5)$
Ho provato anche con la x negativa di P ma niente...il risultato del libro non mi viene..
a. le equazioni delle rette perpendicolari alla bisettrice del 2° e 4° quadrante aventi distanza uguale a 1 dal fuoco di ascissa positiva;
b.l'equazione della parabola passante per i punti $(0;-1)$,$(0;1)$ e il cui vertice appartiene alla retta $y=x-4$;
c.un punto P dell'elisse di ordinata positiva tale che ,detta M la sua proiezione sull'asse x e A il vertice dell'ellisse di ascissa negativa,si abbia:
$bar(AM)+bar(PM)=k$,$k in R+$
SVOLGIMENTO:
Trovo i seguenti dati:
$x^2/4+y^2=1$,
$x-y-sqrt(3)-sqrt(2)=0$,
$x-y-sqrt(3)+sqrt(2)=0$,
$x=-4y^2+4$,
L'ultima parte dell'esercizio mi da problemi:
$x=+-2sqrt(1-y^2)$,
$P(2sqrt(1-y^2);y)$,
$M(2sqrt(1-y^2);0)$,
$A(-2;0)$,
$bar(AM)=2sqrt(1-y^2)+2$,
$bar(PM)=y$,
in pratica ottengo:
$y^2+2y(4-k)+k^2-4k=0$
e
$0<=y<=1$
ottengo come soluzione
$0<=k<=4$,
ma il libro vuole anche:
$4<=k<=2+sqrt(5)$
Ho provato anche con la x negativa di P ma niente...il risultato del libro non mi viene..
Risposte
Il testo dice chiaramente che è l'ordinata a dover essere positiva, quindi devi lasciare libera l'ascissa di assumere sia valori positivi che negativi, per questo motivo è opportuno fissare la x di P e di conseguenza ricavarne la y. In questo caso le coordinate di P diventano $(x, sqrt(1-x^2/4)$, quelle di M $(x, 0)$.
Amelia io ho fatto come dici tu prima di decidere di fare tutto in y.
Ho fatto variare la x tra -2 e 2 ossia per capirci meglio:
$-2<=x<=2$
ma non viene lo stesso.
Però adesso che ci penso...l'ellisse è simmetrica rispetto agli assi coordinati e rispetto all'origine...Quindi potrei tentare con
$0<=x<=2$,che dici?
Ho fatto variare la x tra -2 e 2 ossia per capirci meglio:
$-2<=x<=2$
ma non viene lo stesso.
Però adesso che ci penso...l'ellisse è simmetrica rispetto agli assi coordinati e rispetto all'origine...Quindi potrei tentare con
$0<=x<=2$,che dici?
L'equazione mi viene
$x+2+sqrt(1-x^2/4)=k$
Risolvendo il problema graficamente pongo $y=sqrt(1-x^2/4)$, che è la mezza ellisse superiore, e il fascio di rette è improprio e viene $x+2+y=k$. Le rette passanti per gli estremi dell'arco danno $k=0$ e $k=4$, ma cercando le tangenti si ottengono due valori di k, $k=2-sqrt5$, che è da scartare perché tange l'arco di ellisse ad ordinata negativa, e $k=2+sqrt5$ che è la tangente superiore.
$x+2+sqrt(1-x^2/4)=k$
Risolvendo il problema graficamente pongo $y=sqrt(1-x^2/4)$, che è la mezza ellisse superiore, e il fascio di rette è improprio e viene $x+2+y=k$. Le rette passanti per gli estremi dell'arco danno $k=0$ e $k=4$, ma cercando le tangenti si ottengono due valori di k, $k=2-sqrt5$, che è da scartare perché tange l'arco di ellisse ad ordinata negativa, e $k=2+sqrt5$ che è la tangente superiore.
Vedi non mi era venuto in mente di risolvere il problema graficamente....Senti ma con le soluzioni analitiche c'è il rischio che qualche valore fondamentale viene omesso?Fammi sapere...E grazie del tuo aiuto...
Non starai scherzando. Con la soluzione grafica il problema si vede e quindi non è possibile perdere soluzioni.
Amelia io ti ho chiesto se con la soluzione ANALITICA qualche valore non si vede esplicitamente cioè
$x+2+sqrt(1-x^2/4)=k$
con
$-2<=x<=2$
mi ricavo la x e ho due sistemi.Risolvendo entrambi mi accorgo però che la soluzione non combacia con quella del libro.Ho ricontrollato i miei calcoli e non ho trovato errori.Fammi sapere.
$x+2+sqrt(1-x^2/4)=k$
con
$-2<=x<=2$
mi ricavo la x e ho due sistemi.Risolvendo entrambi mi accorgo però che la soluzione non combacia con quella del libro.Ho ricontrollato i miei calcoli e non ho trovato errori.Fammi sapere.
Scusa, avevo letto male il tuo intervento precedente.
Resta comunque il fatto che non ho capito che cosa intendi per soluzione analitica, intendi per caso quella algebrica con Tartinville o quella che equivale alla grafica, ma senza fare il grafico?
$k=2+sqrt5$ viene ponendo uguale a 0 il discriminante dell'equazione di secondo grado che ricavi dall'equazione che hai postato.
Resta comunque il fatto che non ho capito che cosa intendi per soluzione analitica, intendi per caso quella algebrica con Tartinville o quella che equivale alla grafica, ma senza fare il grafico?
$k=2+sqrt5$ viene ponendo uguale a 0 il discriminante dell'equazione di secondo grado che ricavi dall'equazione che hai postato.
Intendo la soluzione algebrica
Il nodo sta nel tipo di risoluzione scelto. L'equazione di partenza è :
\(\displaystyle x+2+\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=k \)
da cui si ricava :
\(\displaystyle \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=k-x-2 \)
e poiché la radice quadrata s'intende non negativa per definizione, segue l'ulteriore condizione ( che alcuni chiamano condizione aggiunta) :
\(\displaystyle k-x-2\geq 0 \) da cui \(\displaystyle x\leq k-2 \)
In conclusione occorre discutere il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}5x^2-8(k-2)x+4(k^2-4k+3)=0\\ -2\leq x\leq k-2\end{cases} \)
Applicando il metodo di Tartinville ( ormai in disuso, per la verità), si ottengono i seguenti risultati ( che concordano con quelli che si ricavano con la discussione grafica) :
\(\displaystyle x+2+\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=k \)
da cui si ricava :
\(\displaystyle \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=k-x-2 \)
e poiché la radice quadrata s'intende non negativa per definizione, segue l'ulteriore condizione ( che alcuni chiamano condizione aggiunta) :
\(\displaystyle k-x-2\geq 0 \) da cui \(\displaystyle x\leq k-2 \)
In conclusione occorre discutere il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}5x^2-8(k-2)x+4(k^2-4k+3)=0\\ -2\leq x\leq k-2\end{cases} \)
Applicando il metodo di Tartinville ( ormai in disuso, per la verità), si ottengono i seguenti risultati ( che concordano con quelli che si ricavano con la discussione grafica) :
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