Problema derivate con parametri

[aneres93]

Tra le infinite parabole y=ax2-(a+b)x-2b determinare quella che ha come tangente nel punto di ascissa 2 la retta passante per i punti A(-1,-1); B(1,3). Rappresentare graficamente la parabola ottenuta, il punto di tangenza e la retta tangente.

[bimbozza]

la retta che passa per A e B si ottiene dall' equazione

[math]\frac{y+1}{3+1}=\frac{x+1}{1+1}[/math]

quindi è y=2x+1, che ha coef. ang. m=2.

facciamo ora la derivata del fascio e, nel punto di ascissa pari a 2, imponiamola pari a m.
y'=2ax-(a+b)
4a-a-b
3a-b=2
quindi b=3a-2

sostituiamo la b nel fascio

[math]y=ax^2-(a+3a-2)x-2(3a-2)[/math]

[math]y=ax^2-(4a-2)x-6a+4[/math]

adesso mettiamola in sistema con la retta

[math]
\left{
y=ax^2-(4a-2)x-6a+4\\
y=2x+1\\
[/math]

[math]
\left{
2x+1=ax^2-(4a-2)x-6a+4\\
y=2x+1\\
[/math]

[math]
\left{
ax^2-4ax-6a+3=0\\
y=2x+1\\
[/math]

l'equazione di secondo grado ha discriminnte pari a

[math]\Delta=4a^2+6a^2-3a=10a^2-3a[/math]

ed è pari a zero solo per a=0 e a=3/10

se andiamo a sostituire a=0 nell'equazione questa viene 3=0 che è impossibie

verifichiamo quindi a=3/10: abbiamo

[math]\frac{3}{10}x^2- \frac{12}{10}x-\frac{18}{10}+3=0[/math]

[math]3x^2- 12x-18+30=0[/math]

[math]x^2- 4x+4=0[/math]

[math](x-2)^2=0 [/math]

che ha effettivamente x=2

ma b=3a-2=3*3/10-2=-11/10

quindi l'equazione cercata è

[math]y= \frac{3}{10}x^2-(\frac{3}{10}- \frac{11}{10})x- \frac{6}{10}[/math]

[math]y= \frac{3x^2+8x-6}{10}[/math]

[aneres93]

ma la retta tangente sarebbe y=2x+1 ne i punti A e B?

[bimbozza]

non è tangente in A e B! è una retta che passa per A e B ed è tangente alla curva in un punto, chiamiamolo C, che ha ascissa 2...

[aneres93]

mi spieghi il discriminante?? non l'ho capito..scusami :(
è b^2-a*c ..è da lì vedo a giusto?

[bimbozza]

la formula completa per il discriminante è

[math]\Delta_{completo} =b^2-4ac[/math]

ma, avendo un b pari, si può usare

[math]\Delta_{ridotto} =(b/2)^2-ac[/math]

(è da preferire perchè in generale, si lavora con numeri più piccoli).
se però uno usa la formula ridotta in un'equazione di secondo grado l'equazione risolutiva diventa

[math]x= \frac{-b/2+- \sqrt{ \Delta_{ridotto}}}{a}[/math]

(anch'essa più semplice) invece che

[math]x= \frac{-b+- \sqrt{ \Delta_{completo}}}{2a}[/math]