Problema della Normale... troppo semplice
1. Si consideri il sistema di equazioni in due incognite x, y
ax+by = e ,
cx+dy = f ,
dove a, b, c, d, e, f sono numeri interi relativi.
(a) Dimostrare che il sistema ammette una e una sola soluzione
(non necessariamente intera) qualunque siano e, f se e solo se
$ad−bc != 0$
Ciao a tutti, voglio proporvi questa dimostrazione che ho preso da uno degli ultimi test d'ammissione alla Normale per la facoltà di matematica. Io proverei a sviluppare il mio ragionamento così, potreste dirmi se per caso lo trovate poco corretto o superficiale?
Considero il piano cartesiano x0y. Le due equazioni individuano su questo piano due rette, e l'intersezione di esse sarà un punto con ascissa e ordinata ottenibili dalla risoluzione del sistema. Sappiamo però che l'unica condizione che non permette l'esistenza di questo punto è quella del parallelismo delle due rette.
Perciò dovrà essere $-a/b != -c/d$
Moltiplico per -1 e per bd e ottengo quindi $ad != bc
Il fatto è che mi sembra troppo semplice per essere una domanda della normale... voi che ne pensate?
ax+by = e ,
cx+dy = f ,
dove a, b, c, d, e, f sono numeri interi relativi.
(a) Dimostrare che il sistema ammette una e una sola soluzione
(non necessariamente intera) qualunque siano e, f se e solo se
$ad−bc != 0$
Ciao a tutti, voglio proporvi questa dimostrazione che ho preso da uno degli ultimi test d'ammissione alla Normale per la facoltà di matematica. Io proverei a sviluppare il mio ragionamento così, potreste dirmi se per caso lo trovate poco corretto o superficiale?
Considero il piano cartesiano x0y. Le due equazioni individuano su questo piano due rette, e l'intersezione di esse sarà un punto con ascissa e ordinata ottenibili dalla risoluzione del sistema. Sappiamo però che l'unica condizione che non permette l'esistenza di questo punto è quella del parallelismo delle due rette.
Perciò dovrà essere $-a/b != -c/d$
Moltiplico per -1 e per bd e ottengo quindi $ad != bc
Il fatto è che mi sembra troppo semplice per essere una domanda della normale... voi che ne pensate?
Risposte
Se hai tutto il testo vedrai che la vera difficoltà sta nel secondo punto...
io l'ho fatto simile al tuo...
ho messo in forma esplicita le due rette e ho ottenuto :$y=(e-ax)/b$e$y=(h-cx)/d$a questo punto posso ignorare h ed e, in quanto so che per far si che si intersichino le rette i loro coefficienti angolari devono essere diversi tra loro, quindi $-(a/b)!=-(c/d)$il da cui ottengo $ad!=cb$ che è come la tua risposta...
se $ad=cb$allora le due rette son parallele tra loro e non si intersecheranno mai.
ho messo in forma esplicita le due rette e ho ottenuto :$y=(e-ax)/b$e$y=(h-cx)/d$a questo punto posso ignorare h ed e, in quanto so che per far si che si intersichino le rette i loro coefficienti angolari devono essere diversi tra loro, quindi $-(a/b)!=-(c/d)$il da cui ottengo $ad!=cb$ che è come la tua risposta...
se $ad=cb$allora le due rette son parallele tra loro e non si intersecheranno mai.
un altro modo per risolverlo poteva essere che il discriminante deve essere diverso da zero, in modo che il sistema abbia una e una sola soluzione, quindi lo sviluppo della matrice del discrimenante(k nn scrivo perchè nn so postare una matrice) viene ad-bc che deve essere diversa da zero, se fosse uguale a zero il sistema sarebbe indeterminato...
Ecco il sistema in forma matriciale $ Ax = b $:
$ [(a,b),( c,d)] *[(x),(y)] = [(e),(f)]$.
La condizione det$ A ne 0$ che assicura l'unicità della soluzione è : $ ad -bc ne 0 $ .
$ [(a,b),( c,d)] *[(x),(y)] = [(e),(f)]$.
La condizione det$ A ne 0$ che assicura l'unicità della soluzione è : $ ad -bc ne 0 $ .
E' vero blackdie... il punto successivo è tutta un'altra storia.. per non parlare degli esercizi sucessivi.. almeno io parlo per me, nonostante sia "ancora" al 4 liceo scintifico con risultati più che buoni in matematica, non mi aspetto che in futuro sarò mai in grado di risolvere problemi di un certo tipo (come quelli delle olimpiadi o dei test alla normale)... vabbe non sto qua a fare il pianto greco, auguro invece buona fortuna a tutti, ciao 
qual'è il punto successivo?
(b) Si supponga di scegliere a caso i coefficienti a, b, c, d, e, f tra gli interi relativi con valore assoluto minore o uguale a un intero positivo n prefissato.
Dimostrare che la probabilità che il sistema abbia esattamente una soluzione (non necessariamente intera) è compresa tra
$1- 1/2n$ e $1- 1/3n^2$
Ecco il secondo quesito riguardante quel sistema a due incognite
Dimostrare che la probabilità che il sistema abbia esattamente una soluzione (non necessariamente intera) è compresa tra
$1- 1/2n$ e $1- 1/3n^2$
Ecco il secondo quesito riguardante quel sistema a due incognite
Scusatemi ma n e $n^2$ stanno al denominatore... vediamo se adesso mi riesce: $1- 1/(2n)$ e $1- 1/(3n^2)
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