Problema dato all'esame di maturità nel 1951

[Trotta1]

Nel triangolo ABC l'angolo al vertice B è di 60°. trovare l'ampiezza x dell'angolo BCA sapendo che K/4 è la misura, rispetto a BC, dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti due segmenti rispettivamente uguali ad AC ed alla proiezione BH di BA su BC.
Ho impostato il problema così:
(AH/cos(x-30))^2 + (AHtag30)^2=AH^2*(tag30+tag(x-30))^2*K^2/16

ma sviluppando l'espressione non riesco a pervenire ad una equazione di secondo grado da discutere per determinare le soluzioni.
Qualcuno di voi sa aiutarmi?

[G.D.5]

Provo a suggrire qualche cosa, ma non so quanto sia corretto.

Nel seguito mi riferirò a queste figure



Applicando il Teorema dei seni nel triangolo $ABC$ si ottiene

$\frac{AB}{\sen(x)}=\frac{BC}{sen(x+60°)}$

Poiché il testo misura l'ipotenusa $i$ rispetto a $BC$, conviene assumere $BC$ come unità di misura, sicché la precedente relazione passa nella forma

$\frac{AB}{\sen(x)}=\frac{1}{sen(x+60°)} => AB=\frac{\sen(x)}{\sen(x+60°)}$

Inoltre

$AH=AB*\sen(60°) => AH=\frac{\sen(x)}{\sen(x+60°)}*\sen(60°)$

e

$BH=AB*\cos(60°) => BH=\frac{\sen(x)}{\sen(x+60°)}*\cos(60°)$

Inoltre è anche $AH=AC*\sen(x) => AC=\frac{AH}{\sen(x)}=\frac{1}{\sen(x)}*\frac{\sen(x)}{\sen(x+60°)}*\sen(60°)=\frac{\sen(60°)}{\sen(x+60°)}$

Dal triangolo $abi$ si ricava

$AC=a=i*\sen(\alpha)=\frac{k}{4}*BC*\sen(\alpha) => \sen(\alpha)=\frac{4*AC}{k*BC}=\frac{4*AC}{k}$

e

$BH=a=i*\cos(\alpha)=\frac{k}{4}*BC*\cos(\alpha) => \cos(\alpha)=\frac{4*BH}{k*BC}=\frac{4*BH}{k}$

dove $\alpha$ è l'angolo che si oppone ad $a$; usando l'identità goniometrica $\sen^{2}(\alpha)+cos^{2}(\alpha)=1$ in $abi$ con i valori sopra trovati di $\sen(\alpha)$ e $\cos(\alpha)$ e con quelli precedentemente ricavati di $BH$ e $AH$ e $AC$ per scrivere tutto con le funzioni goniometriche seno e coseno viene una equazione di secondo grado da risolvere opportunamente.

Prova a risolvere e vedi se i risultati tornano.