Problema concettuale con limite
Salve, potreste cortesemente aiutarmi con questo limite che mi sta creando parecchi dubbi?
$lim_(x->(pi/6)^+)2sin^2x-sinx$
come si calcola?
Io ho provato direttamente a sostituire π/6+ nell'espressione ma mi rimane molto ostico capire quale dei due termini sia più grande o più piccolo dopo aver fatto tutte le dovute operazioni. Allora ho provato a usare la calcolatrice, e siccome π/6 corrisponde a 30° ho fatto i calcoli con un valore prossimo sulla calcolatrice, e ho messo 30,01° visto che tende da destra. Ma all'esame non avrò la calcolatrice e quindi mi troverei in difficoltà a farlo senza idi essa. Per questo motivo, dato che mi risulta così ostico, ho pensato che magari non sia il metodo giusto di risoluzione e che sia necessario compiere qualche raccoglimento o cose simili. Facevo bene all'inizio a sostituire direttamente il valore e a cui tende la x e magari ad usare la calcolatrice o bisogna fare quale modifica all'espressione prima?
Per intenderci, sostituendo diventerebbe:
lim log (2[sen(π/6+)]^2-sen(π/6+)]
x-> π/6+
che come vedete, da fare senza calcolatrice è un pò complesso sopratutto perchè non esiste un simbolismo adatto per annotarsi che i valori scritti nei vari passaggi non sono quelli esatti ma delle "tendenze" della x a quei valori.
2(sen[π/6+])^2 = (0,5+)^2 = 2( 0,25+) = 0,5+
sen(π/6+)= 0,5+
come vedete usando il simbolismo "+" per indicare che la x tende a quel valore da destra, si arriva ad una ambiguità, avendo in entrambi i casi 0,5+ e 0,5+ come faccio a capire quale valore è più grande e quale è più piccolo? in questo caso poi il problema è rilevante, perchè dovendo fare la differenza:
(0,5+) - (0,5+)
non saprei proprio se il risultato sia 0+ o 0-, e la cosa comporta risultati completamente diversi trattandosi di un limite di logaritmo.
Grazie in anticipo.
$lim_(x->(pi/6)^+)2sin^2x-sinx$
come si calcola?
Io ho provato direttamente a sostituire π/6+ nell'espressione ma mi rimane molto ostico capire quale dei due termini sia più grande o più piccolo dopo aver fatto tutte le dovute operazioni. Allora ho provato a usare la calcolatrice, e siccome π/6 corrisponde a 30° ho fatto i calcoli con un valore prossimo sulla calcolatrice, e ho messo 30,01° visto che tende da destra. Ma all'esame non avrò la calcolatrice e quindi mi troverei in difficoltà a farlo senza idi essa. Per questo motivo, dato che mi risulta così ostico, ho pensato che magari non sia il metodo giusto di risoluzione e che sia necessario compiere qualche raccoglimento o cose simili. Facevo bene all'inizio a sostituire direttamente il valore e a cui tende la x e magari ad usare la calcolatrice o bisogna fare quale modifica all'espressione prima?
Per intenderci, sostituendo diventerebbe:
lim log (2[sen(π/6+)]^2-sen(π/6+)]
x-> π/6+
che come vedete, da fare senza calcolatrice è un pò complesso sopratutto perchè non esiste un simbolismo adatto per annotarsi che i valori scritti nei vari passaggi non sono quelli esatti ma delle "tendenze" della x a quei valori.
2(sen[π/6+])^2 = (0,5+)^2 = 2( 0,25+) = 0,5+
sen(π/6+)= 0,5+
come vedete usando il simbolismo "+" per indicare che la x tende a quel valore da destra, si arriva ad una ambiguità, avendo in entrambi i casi 0,5+ e 0,5+ come faccio a capire quale valore è più grande e quale è più piccolo? in questo caso poi il problema è rilevante, perchè dovendo fare la differenza:
(0,5+) - (0,5+)
non saprei proprio se il risultato sia 0+ o 0-, e la cosa comporta risultati completamente diversi trattandosi di un limite di logaritmo.
Grazie in anticipo.
Risposte
$lim_(x->(pi/6)^+)2sin^2x-sinx$
A me verrebbe da sostituire $t=sinx$, se $x->(pi/6)^+$ allora $t->(1/2)^+$. Ottieni $lim_(t->(1/2)^+)2t^2-t=0^+$.
A me verrebbe da sostituire $t=sinx$, se $x->(pi/6)^+$ allora $t->(1/2)^+$. Ottieni $lim_(t->(1/2)^+)2t^2-t=0^+$.
Basta raccogliere $sinx$.
"burm87":
$lim_(x->(pi/6)^+)2sin^2x-sinx$
A me verrebbe da sostituire $t=sinx$, se $x->(pi/6)^+$ allora $t->(1/2)^+$. Ottieni $lim_(t->(1/2)^+)2t^2-t=0^+$.
Ok effettivamente con la sostituzione è più semplice da vedere. Però se hai letto bene il mio messaggio iniziale mi si ripropone lo stesso problema di prima, non riesco a capire come fare a determinare con certezza e senza l'uso della calcolatrice quale dei due termini è più grande.
In $lim_(t->(1/2)^+)2t^2-t=0^+$
il primo termine lo devo prima elevare al quadrato e poi posso semplificare il due, e riottengo 1/2, ma come faccio ora a sapere se è più grande o più piccolo dell'altro termine al quale invece non ho dovuto fare niente?
In entrambi i termini il valore della t si avvicina da destra, ma il primo subisce delle modifiche, perciò siccome non era il valore esatto ma una tendenza come faccio a capire se dopo le varie operazioni è diventato più grande o più piccolo dell'altro termine a destra?
alle fine dei passaggi, dopo aver sostituito il valore otterrei:
$((1/2)^+)-(1/2)^+=$ ma scritto così, solo con il +, come faccio a capire se è $0^+$ $0^-$ $0$?
Per intenderci, mettiamo che il primo termine dopo le modifiche sia diventato 0,501 e il secondo 0,502 (diversi perchè su uno ho elevato al quadrato e diviso per due e sull'altro no, ma avrei potuto considerare qualsiasi altra operazione da farci), entrambi potrei scriverli come nella formula, attraverso il simbolo $(1/2)^+$, ma in questo caso la differenza non sarebbe $0^+$ ma $0^-$ (infatti 0,502>0,501 ma con il simbolo non potrei saperlo), spero che ora sia chiaro il dubbio..
Io per esempio disegnerei la parabola, in alternativa:
"@melia":
Basta raccogliere $sinx$.
Il metodo migliore è senz'altro quello indicato da @melia. Volendone un altro, non arriverei alla complicazione di disegnare una parabola, ma scriverei
$t=1/2+h->2t^2-t=2(1/2+h)^2-(1/2+h)=...=h+2h^2$
e poiché $h$ è positivo e tende a zero, il tutto tende a $0^+$
Un altro metodo, comodo ma poco apprezzato dai professori, è dare a $t$ un valore di poco superiore ad $1/2=0,5$ e fare i calcoli con la calcolatrice; ad esempio, con $t=0,51$ si ha $2*0,51^2-0,51=0,0102>0$
$t=1/2+h->2t^2-t=2(1/2+h)^2-(1/2+h)=...=h+2h^2$
e poiché $h$ è positivo e tende a zero, il tutto tende a $0^+$
Un altro metodo, comodo ma poco apprezzato dai professori, è dare a $t$ un valore di poco superiore ad $1/2=0,5$ e fare i calcoli con la calcolatrice; ad esempio, con $t=0,51$ si ha $2*0,51^2-0,51=0,0102>0$
Mi scuso con @melia, non avevo visto la sua risposta! Con i vostri metodi ho capito come risolvere l'esercizio.
In particolare il post di giammaria mi ha aperto gli occhi, il procedimento con gli "h" mi ha aiutato a separare il numero dall'infinitesimo e quindi sono riuscito a lavorare su di esso che prima era "nascosto". L'esempio più ortodosso di inserire un valore leggermente superiore e fare i conti con la calcolatrice, non è apprezzato ma ora so che si può fare (cosa che non era scontata) e che può essere utile in casi "estremi".
volevo chiedere un'ultima cosa, che ancora non mi è chiara. Quando ho:
$2((1/2)^+)^2 -(1/2)^+$
SENZA usare la notazione con gli h e SENZA usare il trucchetto di inserire valori numerici leggermente più grandi di 0,5, esiste un altro modo per determinare se viene $0$, $0^+$ o $0^-$? Insisto molto su questo punto perchè vorrei capire come il libro voleva che fosse risolta questa parte finale, scusate la ridondanza
In particolare il post di giammaria mi ha aperto gli occhi, il procedimento con gli "h" mi ha aiutato a separare il numero dall'infinitesimo e quindi sono riuscito a lavorare su di esso che prima era "nascosto". L'esempio più ortodosso di inserire un valore leggermente superiore e fare i conti con la calcolatrice, non è apprezzato ma ora so che si può fare (cosa che non era scontata) e che può essere utile in casi "estremi".
volevo chiedere un'ultima cosa, che ancora non mi è chiara. Quando ho:
$2((1/2)^+)^2 -(1/2)^+$
SENZA usare la notazione con gli h e SENZA usare il trucchetto di inserire valori numerici leggermente più grandi di 0,5, esiste un altro modo per determinare se viene $0$, $0^+$ o $0^-$? Insisto molto su questo punto perchè vorrei capire come il libro voleva che fosse risolta questa parte finale, scusate la ridondanza
Sempre con il raccoglimento:
$2((1/2)^+)^2 -(1/2)^+=(1/2)^+ (2*(1/2)^+ -1)=(1/2)^+ (1^+ -1) = (1/2)^+ *0^+ = 0^+$
$2((1/2)^+)^2 -(1/2)^+=(1/2)^+ (2*(1/2)^+ -1)=(1/2)^+ (1^+ -1) = (1/2)^+ *0^+ = 0^+$
"@melia":
Sempre con il raccoglimento:
$2((1/2)^+)^2 -(1/2)^+=(1/2)^+ (2*(1/2)^+ -1)=(1/2)^+ (1^+ -1) = (1/2)^+ *0^+ = 0^+$
Grazie infinite, davvero!! Ora è tutto limpido
Come mi è stato suggerito da @melia tempo fa, non riapro un altro post ma continuo su questo...
Ho finito ormai i limiti e le derivate, ma per controllare la continuità di una funzione in un punto sono incappato in questo limite che non riesco a risolvere:
$lim_(x->(0)^+)xcos(1/x)$
Che si può risolvere con i teoremi sui limiti o intuitivamente già lo so, ma quello che mi interessa è sapere se esiste un modo per risolverlo SOLO con opportune semplificazioni o sostituzioni di variabile. Mi potreste aiutare cortesemente?
Ho finito ormai i limiti e le derivate, ma per controllare la continuità di una funzione in un punto sono incappato in questo limite che non riesco a risolvere:
$lim_(x->(0)^+)xcos(1/x)$
Che si può risolvere con i teoremi sui limiti o intuitivamente già lo so, ma quello che mi interessa è sapere se esiste un modo per risolverlo SOLO con opportune semplificazioni o sostituzioni di variabile. Mi potreste aiutare cortesemente?
Ciao, potresti scrivere la funzione come $$\frac{\cos\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$$ e poi effettuare il cambio di variabile $$\frac{1}{x} = t$$ tenendo presente che $$x \to 0 \quad\Rightarrow\quad t \to \infty$$ Ottieni quindi $$\lim_{t\to\infty}\frac{\cos t}{t} = 0$$ Non so se era quello che cercavi.
Rispondo più che altro perché non posso non rispondere a Sheldon Lee Cooper se ne ho l'occasione (così come Howard Wolowitz e Leonard... come si scrive... Houfstader?).
Comunque la mia risposta è identica a quella di minomic - che saluto
- ma ne ho trovata una differente pur di rispondere a Sheldon Cooper 
$lim_(x->0) x cos(1/x)$
è della forma
$lim_(x->0) "quantità infinitesima" \cdot "quantità limitata"$
da cui si poteva trarre $0$ come risposta.
D'accordo che $cos(1/x)$ oscilla sempre e non ammette limite per $x->0$ però è sempre compreso tra $-1$ e $1$ a prescindere dall'argomento: anche se oscilla è limitato, mentre $x$ è infinitesimo ($x->0$ in generale, poi!).
Comunque la mia risposta è identica a quella di minomic - che saluto
- ma ne ho trovata una differente pur di rispondere a Sheldon Cooper $lim_(x->0) x cos(1/x)$
è della forma
$lim_(x->0) "quantità infinitesima" \cdot "quantità limitata"$
da cui si poteva trarre $0$ come risposta.
D'accordo che $cos(1/x)$ oscilla sempre e non ammette limite per $x->0$ però è sempre compreso tra $-1$ e $1$ a prescindere dall'argomento: anche se oscilla è limitato, mentre $x$ è infinitesimo ($x->0$ in generale, poi!).
Ricambio il saluto di Zero87 
Sì quello è il metodo "standard" per risolvere quel limite ed è quello più consigliato per semplicità e brevità. Infatti il mio cambio di variabile risulta un po' forzato (e inutile) ma l'ho proposto ugualmente perché Sheldon lo voleva "fare strano"...
Sì quello è il metodo "standard" per risolvere quel limite ed è quello più consigliato per semplicità e brevità. Infatti il mio cambio di variabile risulta un po' forzato (e inutile) ma l'ho proposto ugualmente perché Sheldon lo voleva "fare strano"...
Grazie a entrambi, scrivendomi due modi di risolverlo differenti mi avete aiutato a trovare un errore di ragionamento che facevo. Consideravo il senx con x che tende a infinito, alla pari della radice quadrata di un numero negativo, quindi quando trovavo quella forma bloccavo i calcoli e non capivo come potesse venirmi una cosa del genere. Poi ho capito che c'era una sostanziale differenza tra le due cose, una NON ESISTE (radice quadrata di un numero negativo), l'altra invece è una quantità INDEFINITA (senx con x che tende a infinito), e a seconda dei casi, la seconda permette invece di giungere comunque ad un risultato, come in questa situazione in cui, come ha detto Zero87, è una "quantità indefinita per una infinitesima", quella frase mi ha illuminato, GRAZIE ANCORA!
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