Problema con un integrale semplice
Buon pomeriggio 
ho un dubbio veloce a riguardo del calcolo dell'integrale $ int_( )^( ) e^(-2t) dt $ so che deve dare come risultato $ -1/2e^(-2t) $ ma non sono sicura del procedimento utilizzato per calcolarlo... potreste farmi vedere i passaggi? grazie mille ^^
ho un dubbio veloce a riguardo del calcolo dell'integrale $ int_( )^( ) e^(-2t) dt $ so che deve dare come risultato $ -1/2e^(-2t) $ ma non sono sicura del procedimento utilizzato per calcolarlo... potreste farmi vedere i passaggi? grazie mille ^^
Risposte
la derivata di $e^(-2t)$ è $-2*e^(-2t)$, dunque è una costante per la funzione stessa.
se moltiplichi per il reciproco della costante hai: $D[-1/2*e^(-2t)]=(-1/2)*(-2)*e^(-2t)=e^(-2t)$
OK?
se moltiplichi per il reciproco della costante hai: $D[-1/2*e^(-2t)]=(-1/2)*(-2)*e^(-2t)=e^(-2t)$
OK?
No, perdonami continuo a non capire.. non credo di aver mai calcolato in integrale in questo modo :S perchè parti dalla derivata? e perchè moltiplichi per il reciproco della costante? :S grazie in anticipo!
Molto semplicemente, poniamo $-2t = y$ e quindi $t= -1/2y rarr dt = -1/2 dy$.
A questo punto $int -1/2 e^y dy = -1/2e^y + c = -1/2 e^(-2t) + c$
A questo punto $int -1/2 e^y dy = -1/2e^y + c = -1/2 e^(-2t) + c$
l'integrale indefinito non è altro che l'insieme di tutte le primitive:
se hai una funzione $f(x)$, si definisce primitiva di $f(x)$ una funzione $F(x)$ la cui derivata sia la funzione data, cioè trovare $int f(x) dx = F(x) +c$ significa trovare, a meno di una costante, una funzione $F(x)" t. c. "F'(x)=f(x)$, e nota che la derivata di una costante è $0$.
non esiste un metodo generale per calcolare gli integrali, anzi nella maggior parte dei casi non si conoscono le primitive, ma si parte dai casi più semplici, detti elementari, di cui si può intuire come trovare la primitiva proprio pensando a trovare una funzione la cui derivata sia quella che abbiamo.
sia nel caso di "monomi (razionali o irrazionali)" sia nel caso di "esponenziali semplici", è facile passare da una funzione alla derivata e viceversa, dunque è facile passare dalla funzione alla primitiva.
non c'è un metodo più elementare: è come per le scomposizioni di polinomi, argomento più "ostico" dell'algebra elementare, perché anche lì si trattava di "riconoscere" da un polinomio sviluppato il prodotto da cui proveniva.
nel caso in questione, se tu hai $e^(f(x))$ sai che la derivata è $f'(x)*e^(f(x))$, dunque l'esponenziale non cambia nella derivata. in più, se $f(x)$ è un "polinomio" di primo grado, $f'(x)$ è una costante.
se moltiplichi una funzione per una costante, sai benissimo come trovi la derivata...
dunque, se $D[e^(f(x))]=f'(x)*e^(f(x))", con "f'(x)=k$ allora $D[1/k * e^(f(x))] =e^(f(x))$
per analogia, pensa alle formule di derivazione e di integrazione di $x^n, n != 0, 1$
se hai una funzione $f(x)$, si definisce primitiva di $f(x)$ una funzione $F(x)$ la cui derivata sia la funzione data, cioè trovare $int f(x) dx = F(x) +c$ significa trovare, a meno di una costante, una funzione $F(x)" t. c. "F'(x)=f(x)$, e nota che la derivata di una costante è $0$.
non esiste un metodo generale per calcolare gli integrali, anzi nella maggior parte dei casi non si conoscono le primitive, ma si parte dai casi più semplici, detti elementari, di cui si può intuire come trovare la primitiva proprio pensando a trovare una funzione la cui derivata sia quella che abbiamo.
sia nel caso di "monomi (razionali o irrazionali)" sia nel caso di "esponenziali semplici", è facile passare da una funzione alla derivata e viceversa, dunque è facile passare dalla funzione alla primitiva.
non c'è un metodo più elementare: è come per le scomposizioni di polinomi, argomento più "ostico" dell'algebra elementare, perché anche lì si trattava di "riconoscere" da un polinomio sviluppato il prodotto da cui proveniva.
nel caso in questione, se tu hai $e^(f(x))$ sai che la derivata è $f'(x)*e^(f(x))$, dunque l'esponenziale non cambia nella derivata. in più, se $f(x)$ è un "polinomio" di primo grado, $f'(x)$ è una costante.
se moltiplichi una funzione per una costante, sai benissimo come trovi la derivata...
dunque, se $D[e^(f(x))]=f'(x)*e^(f(x))", con "f'(x)=k$ allora $D[1/k * e^(f(x))] =e^(f(x))$
per analogia, pensa alle formule di derivazione e di integrazione di $x^n, n != 0, 1$
Ora ho capito! Vi ringrazio tanto, per la spiegazione e sopratutto per il tempo
prego!
una curiosità: per capire è stato necessario sia lo svolgimento dell'esercizio da parte di andar9896 sia il mio "sproloquio" come spiegazione?
una curiosità: per capire è stato necessario sia lo svolgimento dell'esercizio da parte di andar9896 sia il mio "sproloquio" come spiegazione?
no, in ordine cronologico ho letto prima la risposta di andar9896 e lì ho capito, però grazie al tuo utilissimo sproloquio ho approfondito, magari ho colmato qualche lacuna :/
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo