Problema con teorema del coseno
Ho questo problema: è dato il triangolo equilatero $ABC$ di lato $2l$. Traccia la semicirconferenza di diametro $AB$ esterna al triangolo e considera su di essa un punto $P$ con $BAP = x$. Determina la funzione $f(x) = (PC^2 + PB^2)/(AB^2)$. Il lato $AB$ ce l'ho già ed è $2l$. Il lato $PB = ABsinx$ e per il lato $PC$ ho pensato di applicare il teorema del coseno al triangolo $PCB$, quindi $PC^2 = PB^2 + BC^2 -2*PB*BC*cos\beta$
dove $\beta = PCB$. Quel che non capisco e come ricavare $\beta$. Potreste aiutarmi per favore?
dove $\beta = PCB$. Quel che non capisco e come ricavare $\beta$. Potreste aiutarmi per favore?
Risposte
Ciao! 
mi rifaccio alla tua prima posizione ponendo $BAP=x$(lo considero in radianti)
avremo che essendo il triangolo $BAP$ inscritto in una semicirconferenza con ipotenusa sul diametro, sarà rettangolo, pertanto si avrà $BP=2lsin(x)$ e non ci resta che trovare $PC$
considerando che, essendo il triangolo $BAC$ equilatero, l'angolo $BAC$ misura $pi/3$ radianti e quindi l'angolo $PAC=x+pi/3$ radianti.
Chiaramente sarà $AP=2lcos(x)$ mentre $AC=2l$ in quanto lato di un triangolo equilatero.
allora, per il teorema del coseno
quindi a meno di errori la funzione dovrebbe essere
mi rifaccio alla tua prima posizione ponendo $BAP=x$(lo considero in radianti)
avremo che essendo il triangolo $BAP$ inscritto in una semicirconferenza con ipotenusa sul diametro, sarà rettangolo, pertanto si avrà $BP=2lsin(x)$ e non ci resta che trovare $PC$
considerando che, essendo il triangolo $BAC$ equilatero, l'angolo $BAC$ misura $pi/3$ radianti e quindi l'angolo $PAC=x+pi/3$ radianti.
Chiaramente sarà $AP=2lcos(x)$ mentre $AC=2l$ in quanto lato di un triangolo equilatero.
allora, per il teorema del coseno
$PC^2=AP^2+AC^2-2AC*APcos(x+pi/3)=4l^2cos^2(x)+4l^2-8l^2cos(x)cos(x+pi/3)$
quindi a meno di errori la funzione dovrebbe essere
$f(x)=2-2cos(x)cos(x+pi/3)$
Grazie tante, ho capito benissimo, volevo chiederti, se quella funzione si può scrivere come $f(x) = sin(ax+b) +c$
Non capisco perchè applicare la formula di prostaferesi per ottenere un'espressione in seno, ho svolto il prodotto e ho ottenuto:
$sin^2x-sqrt(3)sinx+1$, ma non ho idea di come passare ad una forma del tipo: $sin(ax+b)+c$
$sin^2x-sqrt(3)sinx+1$, ma non ho idea di come passare ad una forma del tipo: $sin(ax+b)+c$
Appunto e da qui non ti muovi più. Quindi la tua strada non è molto buona.
$ f(x)=2-2cos(x)cos(x+pi/3) $
Comunque più che prostaferesi applicherei Werner (che ne è la formula inversa) e che equivale alla dimostrazione della prostaferesi
$cosalpha cosbeta=1/2[cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)]$
$ f(x)=2-2cos(x)cos(x+pi/3)=2-2*1/2[cos(pi/3)+cos(2x+pi/3)]=$
$= 2-cos(pi/3)-cos(2x+pi/3) =2-1/2-sin(pi/2-2x-pi/3) =$
$= 3/2 - sin (pi/6-2x)= 3/2 + sin (2x-pi/6)$
PS spero di non aver perso qualche segno, con questo caldo faccio fatica a concentrarmi.
$ f(x)=2-2cos(x)cos(x+pi/3) $
Comunque più che prostaferesi applicherei Werner (che ne è la formula inversa) e che equivale alla dimostrazione della prostaferesi
$cosalpha cosbeta=1/2[cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)]$
$ f(x)=2-2cos(x)cos(x+pi/3)=2-2*1/2[cos(pi/3)+cos(2x+pi/3)]=$
$= 2-cos(pi/3)-cos(2x+pi/3) =2-1/2-sin(pi/2-2x-pi/3) =$
$= 3/2 - sin (pi/6-2x)= 3/2 + sin (2x-pi/6)$
PS spero di non aver perso qualche segno, con questo caldo faccio fatica a concentrarmi.
Si, i segni sono corretti , grazie mille per la spiegazione coi passaggi, tuttavia non capisco perchè nel secondo passaggio hai scritto $sin(p/2-2x-pi/3)$, ovvero non capisco il perchè del $p/2$
Era un $pi$ a cui mancava la i. Ho usato la formula $cos alpha= sin (pi/2-alpha)$
Ok, grazie mille per la spiegazione!
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