Problema con studio funzione
Considerare la funzione reale definita da $ f(x) = x*e^(x-1) $
a) Studiare la funzione determinando:
Dominio (insieme di definizione), Zeri, Asintoti, Estremi, Monotonia, Flessi, e schizzare il grafico di f.
Quali di questi risultati sono sbagliati? Potreste aiutarmi a disegnare il grafico? Grazie
Df = R (oppure R*+)
Zeri = 0
Asintoti = verticali: x=0- ; x=0+ $ lim_(x -> 0-) = 0- ; lim_(x -> 0+) = 0+ $
obliquo = non c'è
Derivata prima: $ f'(x) = e^(x-1) * (1+x) $
Estremo in x=-1
Monotonia:
f'(x) >= 0 x appartiene [1; + $ oo $ [
Derivata seconda: $ f''(x) = e^(x-1) * (2+x) $
Flessi: f''(x) = 0 ; flesso in x=-2
f'(x) < 0 --> Flesso discendente (-2;-0,1)
a) Studiare la funzione determinando:
Dominio (insieme di definizione), Zeri, Asintoti, Estremi, Monotonia, Flessi, e schizzare il grafico di f.
Quali di questi risultati sono sbagliati? Potreste aiutarmi a disegnare il grafico? Grazie
Df = R (oppure R*+)
Zeri = 0
Asintoti = verticali: x=0- ; x=0+ $ lim_(x -> 0-) = 0- ; lim_(x -> 0+) = 0+ $
obliquo = non c'è
Derivata prima: $ f'(x) = e^(x-1) * (1+x) $
Estremo in x=-1
Monotonia:
f'(x) >= 0 x appartiene [1; + $ oo $ [
Derivata seconda: $ f''(x) = e^(x-1) * (2+x) $
Flessi: f''(x) = 0 ; flesso in x=-2
f'(x) < 0 --> Flesso discendente (-2;-0,1)
Risposte
La funzione è definita su tutto $RR$.
Si annulla per $x_{0}=0$, è strettamente positiva per $x>0$ e strettamente negativa per $x<0$.
Per $x\rightarrow\pm\infty$ la funzione tende rispettivamente a $+\infty$ e $0$.
La derivata si annulla per $x_{1}=-1$, è strettamente positiva per $x> -1$ e strettamente negativa per $x<-1$
La derivata seconda si annulla in $x_{2}=-2$, è strettamente positiva per $x> -2$ strettamente negativa per $x<-2$.
Si annulla per $x_{0}=0$, è strettamente positiva per $x>0$ e strettamente negativa per $x<0$.
Per $x\rightarrow\pm\infty$ la funzione tende rispettivamente a $+\infty$ e $0$.
La derivata si annulla per $x_{1}=-1$, è strettamente positiva per $x> -1$ e strettamente negativa per $x<-1$
La derivata seconda si annulla in $x_{2}=-2$, è strettamente positiva per $x> -2$ strettamente negativa per $x<-2$.
dominio: $RR$: perché l'altra alternativa?
asintoti verticali: non ci sono ... rivedi la teoria!
derivate: OK
monotonia: errore di segno (distrazione?)
denominazione flesso ascendente/discendente mi pare che sia diversa da quella che nomini: ricontrolla.
asintoti verticali: non ci sono ... rivedi la teoria!
derivate: OK
monotonia: errore di segno (distrazione?)
denominazione flesso ascendente/discendente mi pare che sia diversa da quella che nomini: ricontrolla.
Non ci sono asintoti perchè l'insieme di definizione è R?
Perchè è sbagliato in segno nella monotonia?
Mi chiedevo anche come disegnare il grafico...
Perchè è sbagliato in segno nella monotonia?
Mi chiedevo anche come disegnare il grafico...
"Cuspide83":
La funzione è definita su tutto $RR$.
Si annulla per $x_{0}=0$, è strettamente positiva per $x>0$ e strettamente negativa per $x<0$.
Per $x\rightarrow\pm\infty$ la funzione tende rispettivamente a $+\infty$ e $0$.
La derivata si annulla per $x_{1}=-1$, è strettamente positiva per $x> -1$ e strettamente negativa per $x<-1$
La derivata seconda si annulla in $x_{2}=-2$, è strettamente positiva per $x> -2$ strettamente negativa per $x<-2$.
E' tutto scritto qui..
Ridai un'occhiata come ti ha suggerito adaBTTLS alla teoria e alla terminologia (in particolare ai termini continua, concava, convessa).
Non ho ancora capito come fare per rappresentarla graficamente... Potreste spiegarmi?
hai capito quando c'è un asintoto verticale? non c'è sempre nel caso non sia definita....
poi, per valori "piccoli", nel tuo caso da -3 a +1 almeno, ti conviene trovare direttamente alcuni valori per sostituzione.
per quanto riguarda valori che tendono a $+- oo$, hai presente la funzione esponenziale ($e^x$)?
poi, per valori "piccoli", nel tuo caso da -3 a +1 almeno, ti conviene trovare direttamente alcuni valori per sostituzione.
per quanto riguarda valori che tendono a $+- oo$, hai presente la funzione esponenziale ($e^x$)?
Se il dominio è $RR$ significa che tutti i punti dell'asse $x$ hanno un immagine, in piu la funzione è continua su tutto $RR$, quindi dovrai disegnare una curva piana senza "staccare la matita" dal foglio.
La funzione è positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$ quindi puoi benissimo "cancellare" il $II$ e $IV$ quadrante perchè tanto li non dovrai disegnarci nulla.
Dopodichè hai che la derivata si annulla nel punto $x_{1}=-1$ e che se $x> -1$ oppure $x<-1$ la stessa è positiva oppure negativa; quindi il punto $x_{1}$ è un minimo della funzione. Quindi essendo la sua immagine $f(x_{1})=-e^{-2}$, disegni un punto che ha coordinate $P_{1}=(x_{1},f(x_{1}))$.
Hai visto che la funzione è strettamente decrescente e strettamente crescente per $x<-1$ e $x> -1$ (in base al segno della derivata), il "come" cresce o decresce te lo dice la derivata seconda, ovvero la derivata seconda si annulla per $x_{2}=-2$ ed è positiva e negativa per $x> -2$ e $x<-2$ quindi $x_{2}$ è un punto di flesso.
Perciò essendo l'immagine di $x_{2}$ pari a $f(x_{2})=-2e^{-3}$ disegni un punto che ha queste coordinate $P_{2}=(x_{2},f(x_{2}))$.
Infine ricordando che l'asse delle $x$ è un asintoto orizzontale per $x\rightarrow-\infty$, che la funzione è negativa in $(-\infty,0)$ e positiva in $(0,+\infty)$, che in $(-\infty,x_{2})$ la funzione è concava e in $(2,+\infty)$ è convessa, e che la funzione deve passare per i punti $P_{2}, P_{1}$ precedentemente disegnati e passare anche in $(0,0)$, ottieni il grafico della tua funzione.
La funzione è positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$ quindi puoi benissimo "cancellare" il $II$ e $IV$ quadrante perchè tanto li non dovrai disegnarci nulla.
Dopodichè hai che la derivata si annulla nel punto $x_{1}=-1$ e che se $x> -1$ oppure $x<-1$ la stessa è positiva oppure negativa; quindi il punto $x_{1}$ è un minimo della funzione. Quindi essendo la sua immagine $f(x_{1})=-e^{-2}$, disegni un punto che ha coordinate $P_{1}=(x_{1},f(x_{1}))$.
Hai visto che la funzione è strettamente decrescente e strettamente crescente per $x<-1$ e $x> -1$ (in base al segno della derivata), il "come" cresce o decresce te lo dice la derivata seconda, ovvero la derivata seconda si annulla per $x_{2}=-2$ ed è positiva e negativa per $x> -2$ e $x<-2$ quindi $x_{2}$ è un punto di flesso.
Perciò essendo l'immagine di $x_{2}$ pari a $f(x_{2})=-2e^{-3}$ disegni un punto che ha queste coordinate $P_{2}=(x_{2},f(x_{2}))$.
Infine ricordando che l'asse delle $x$ è un asintoto orizzontale per $x\rightarrow-\infty$, che la funzione è negativa in $(-\infty,0)$ e positiva in $(0,+\infty)$, che in $(-\infty,x_{2})$ la funzione è concava e in $(2,+\infty)$ è convessa, e che la funzione deve passare per i punti $P_{2}, P_{1}$ precedentemente disegnati e passare anche in $(0,0)$, ottieni il grafico della tua funzione.
Grazie mille, adesso è un po' più chiaro.
Il problema però va avanti e chiede:
1) Trovare l’equazione della tangente al grafico di f nell’origine degli assi.
Ho provato a trovare l'equazione della tangente, ma penso che ci sia qualcosa di sbagliato...
$ t : y – (x0*e^(x0 - 1)) = (e^(x0 – 1) (1+x0))*(x-x0) $
$ t : 0 – (x0*e^(x0 - 1)) = (e^(x0 – 1) (1+x0))*(0-x0) $
2) Trovare una primitiva di f.
È giusto utilizzare il metodo della sostituzione, sostituendo t=x-1 ?
3) Il grafico di f, l’asse Ox’’ e la retta verticale di equazione x = k con k>0 delimitano una superficie chiusa nel I quadrante. Esprimere in funzione di k l’area A(k) e calcolare A(2).
Potreste aiutarmi a capire come rappresentare graficamente queste condizioni?
4) Calcolare il lim x -> inf A(k).
Il problema però va avanti e chiede:
1) Trovare l’equazione della tangente al grafico di f nell’origine degli assi.
Ho provato a trovare l'equazione della tangente, ma penso che ci sia qualcosa di sbagliato...
$ t : y – (x0*e^(x0 - 1)) = (e^(x0 – 1) (1+x0))*(x-x0) $
$ t : 0 – (x0*e^(x0 - 1)) = (e^(x0 – 1) (1+x0))*(0-x0) $
2) Trovare una primitiva di f.
È giusto utilizzare il metodo della sostituzione, sostituendo t=x-1 ?
3) Il grafico di f, l’asse Ox’’ e la retta verticale di equazione x = k con k>0 delimitano una superficie chiusa nel I quadrante. Esprimere in funzione di k l’area A(k) e calcolare A(2).
Potreste aiutarmi a capire come rappresentare graficamente queste condizioni?
4) Calcolare il lim x -> inf A(k).
Come complicarsi la vita ...
1) L'espressione per calcolare l'equazione di una retta che passa per un punto è $y-y_0=m(x-x_0)$; ma tu conosci le coordinate del punto di passaggio che sono $(0,0)$ quindi sarà $y=mx$, dove $m$ è il valore che assume la derivata in quel punto; perciò partendo dalla derivata che hai calcolato avrai $e^(x_0-1)(1+x_0)$ e quindi $e^(-1)(1)$ che semplificando diventa $1/e$ e quindi $m=1/e$; concludendo la tangente alla curva nell'origine degli assi sarà $y=x/e$.
2) Non cambia granché ma rende più chiara la strada da fare
3) Per esempio così
1) L'espressione per calcolare l'equazione di una retta che passa per un punto è $y-y_0=m(x-x_0)$; ma tu conosci le coordinate del punto di passaggio che sono $(0,0)$ quindi sarà $y=mx$, dove $m$ è il valore che assume la derivata in quel punto; perciò partendo dalla derivata che hai calcolato avrai $e^(x_0-1)(1+x_0)$ e quindi $e^(-1)(1)$ che semplificando diventa $1/e$ e quindi $m=1/e$; concludendo la tangente alla curva nell'origine degli assi sarà $y=x/e$.
2) Non cambia granché ma rende più chiara la strada da fare
3) Per esempio così
Grazie, ma la retta x=k come bisogna disegnarla?
In che senso? E' una retta verticale,basta prendere una $x$ positiva e la tracci
Quindi va bene qualsiasi x?
Sì, basta che sia positiva. questo chiede il problema; d'altra parte io sceglierei $x=2$ perché ti chiede di calcolarla in quel punto.
Ok, grazie mille
Avrei un'altra domanda:
se la funzione fosse $ f(x) = x*e^(2-k) $, come cambierebbero i risultati dello studio della funzione?
Grazie
se la funzione fosse $ f(x) = x*e^(2-k) $, come cambierebbero i risultati dello studio della funzione?
Grazie
se $k$ è una costante, anche $e^(2-k)=h$ è costante, per cui $f(x)=hx$ è semplicemente un monomio, funzione lineare di diretta proporzionalità: in base a $k$ varia solo il coefficiente angolare della retta $y=e^(2-k)$ che è il suo grafico.
Quindi si fa lo studio normalmente, inserendo dei valori sempre al posto della x?
Ad esempio per calcolare gli asintoti,..
Ad esempio per calcolare gli asintoti,..
Guarda che adaBTTLS ha appena detto che in quel caso e' una retta.
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