Problema con parabola e circonferenze
data la parabola di equazione y=-x^2+2x, determinare vertice(V) e intersezione con l'asse x (punti O e A).
Scrivere l'equazione delle infinite circonferenze passanti per i punti A e V e, tra esse, determinare quella passante per l'origine degli assi cartesiani e quella tangente alla parabola in un punto T da determinarsi. Deteminare il luogo del punto medio del segmento che ha per estremi gli altri due punti comuni alla circonferenza e alla parabola.
i primi quesiti sono semplici...
ma come si risolve il sistema tra la parabola ed il fascio di circonferenze passante per A e V? viene un'equazione di 4 grado con due variabili. Come trovo il punto T?
soluzione :la circonferenza passante per t e tangente alla parabola ha equazione x^2+y^2-9/4x-1/4y+1/2=0
punto T (1/2;3/4)
per piacere vorrei capire la risoluzione fino alla fine con i calcoli e nel modo meno più veloce
Grazie mille per chi risponderà
Scrivere l'equazione delle infinite circonferenze passanti per i punti A e V e, tra esse, determinare quella passante per l'origine degli assi cartesiani e quella tangente alla parabola in un punto T da determinarsi. Deteminare il luogo del punto medio del segmento che ha per estremi gli altri due punti comuni alla circonferenza e alla parabola.
i primi quesiti sono semplici...
ma come si risolve il sistema tra la parabola ed il fascio di circonferenze passante per A e V? viene un'equazione di 4 grado con due variabili. Come trovo il punto T?
soluzione :la circonferenza passante per t e tangente alla parabola ha equazione x^2+y^2-9/4x-1/4y+1/2=0
punto T (1/2;3/4)
per piacere vorrei capire la risoluzione fino alla fine con i calcoli e nel modo meno più veloce
Grazie mille per chi risponderà
Risposte
Per determinare la seconda circonferenza arrivi all'equazione
$x^4 - 4 * x^3 + (3 - a) * x^2 + (3a + 4)*x - 4 - 2a = 0$
a questo punto sai che due soluzioni sono $x=1$ e $x=2$:
la parabola e la circonferenza incognita passano entrambe dai punti $V(1 ; 1)$ e $A(2;0)$.
Basta allora fare la divisione del polinomio di quarto grado per il polinomio $(x-1)(x-2)$ ;
successivamente imponi che il polinomio quoziente (che sarà di secondo grado) abbia le radici
coincidenti. Troverai $a=-9/4$ .
$x^4 - 4 * x^3 + (3 - a) * x^2 + (3a + 4)*x - 4 - 2a = 0$
a questo punto sai che due soluzioni sono $x=1$ e $x=2$:
la parabola e la circonferenza incognita passano entrambe dai punti $V(1 ; 1)$ e $A(2;0)$.
Basta allora fare la divisione del polinomio di quarto grado per il polinomio $(x-1)(x-2)$ ;
successivamente imponi che il polinomio quoziente (che sarà di secondo grado) abbia le radici
coincidenti. Troverai $a=-9/4$ .
[mod="franced"]Ho modificato il titolo.
Ora è chiaro l'argomento del problema.[/mod]
Ora è chiaro l'argomento del problema.[/mod]
grazie per la risposta
ma poi dopo mi chiede di trovare il luogo del punto medio del segmento che ha per estremi gli altri due punti comuni alla circonferenza. Considerando A e V il punto medio mi viene (3/2;1/2), ma il libro mi porta come soluzione del luogo x=1/2.
Ho visitato il sito. Molto interessante anche perchè vorrei fare ingegneria meccanica... lì chissà quanti problemi difficili di geometria ci saranno.....
ma poi dopo mi chiede di trovare il luogo del punto medio del segmento che ha per estremi gli altri due punti comuni alla circonferenza. Considerando A e V il punto medio mi viene (3/2;1/2), ma il libro mi porta come soluzione del luogo x=1/2.
Ho visitato il sito. Molto interessante anche perchè vorrei fare ingegneria meccanica... lì chissà quanti problemi difficili di geometria ci saranno.....
"caseyn27":
...
trovare il luogo del punto medio del segmento che ha per estremi gli altri due punti comuni alla circonferenza
...
Allora oltre ai punti $A$ e $V$ ci sono anche i punti
$P ( (1 + sqrt(9+4a))/2 ; - 3/2 + 1/2 * sqrt(9 + 4 a) - a )$ ;
$Q ( (1 - sqrt(9+4a))/2 ; - 3/2 + 1/2 * sqrt(9 + 4 a) - a )$
il punto medio $M$ ha coordinate
$M ( 1/2 ; -3/2 - a )$ con $a >= -9/4$ .
Il risultato del libro non è esatto al 100%:
il luogo dei punti $M$, al variare di $a$, è la semiretta
${(x = 1/2),(y <= 3/4):}$
(il valore $3/4$ si ottiene sostituendo
$a=-9/4$ nell'ordinata di $M$ oppure $x=1/2$ nell'equazione
della parabola $y = -x^2 + 2x$) .
E' sbagliato dunque dire che il luogo è la retta $x=1/2$:
si tratta invece di una semiretta contenuta nella retta $x=1/2$.
Non so se mi sono spiegato.
e come sono usciti i 2 punti P e Q? Non ho capito...
Non si fa sistema tra la circonferenza e la parabola? Come fanno ad avere il parametro a?
E poi perchè a maggiore o = -9/4?
Non si fa sistema tra la circonferenza e la parabola? Come fanno ad avere il parametro a?
E poi perchè a maggiore o = -9/4?
"caseyn27":
e come sono usciti i 2 punti P e Q? Non ho capito...
Non si fa sistema tra la circonferenza e la parabola? Come fanno ad avere il parametro a?
E poi perchè a maggiore o = -9/4?
Se dividi il polinomio
$x^4-4*x^3+(3-a)*x^2+(3*a+4)*x-4-2*a$
per $(x-1)(x-2)$ trovi
$x^2-x-2-a$
le radici di quest'ultimo polinomio ti danno proprio le ascisse degli altri
due punti di intersezione.
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