Problema con massimi e minimi geometria analitica
Ho questo problema: date le parabole di equazione $y^2=4x$ e $x=-1/(16)y^2+4$ nella zona finta di piano delimitata dalle due parabole inscrivi un rettangolo con i lati paralleli agli assi. Calcola l'altezza del rettangolo in modo che abbia volume massimo il cilindro ottenuto dalla rotazione completa del rettangolo attorno l'asse $x$.
Ho pensato di indicare un lato del rettangolo con la retta $y=k$ con $-1
Potreste aiutarrmi per favore a capire, perchè penso di aver capito male il problema, riguardo alla parte in cui chiede di trovare l'altezza del triangolo (non capisco cosa intenda per altezza se il lato maggiore o il lato minore del disegno che ho fatto).
Ho pensato di indicare un lato del rettangolo con la retta $y=k$ con $-1
Potreste aiutarrmi per favore a capire, perchè penso di aver capito male il problema, riguardo alla parte in cui chiede di trovare l'altezza del triangolo (non capisco cosa intenda per altezza se il lato maggiore o il lato minore del disegno che ho fatto).
Risposte
Non credo tu abbia sbagliato. Oltre a plottare dovresti trovare esplicitamente le intersezioni tra le due parabole.
Inoltre entrambe sono simmetriche rispetto all'asse \(x\), quindi se prendi come incognita l'ordinata del punto \(A\), trovi, oltre alla sua ascissa in funzione di questa, anche le coordinate del punto \(D\). A questo punto hai raggio della base e altezza e puoi scrivere il volume del cilindro in funzione della tua incognita. Non ti resta che massimizzare...
Inoltre entrambe sono simmetriche rispetto all'asse \(x\), quindi se prendi come incognita l'ordinata del punto \(A\), trovi, oltre alla sua ascissa in funzione di questa, anche le coordinate del punto \(D\). A questo punto hai raggio della base e altezza e puoi scrivere il volume del cilindro in funzione della tua incognita. Non ti resta che massimizzare...
Non capisco a cosa mi servano le intersezioni tra le due parabole, comunque se non ho sbagliato dovrebbe essere così:
$V(k)=pi*k^2*(-k^2/16+4)$
$V(k)=pi*k^2*(-k^2/16+4)$
"ZfreS":
Non capisco a cosa mi servano le intersezioni tra le due parabole,
Ti servono per stabilire in range in cui può variare \(k\): tu dice che varia tra \(-1\) e \(1\), ma come l'hai stabilito? Immagino guardando l'immagine che hai postato, ma devi verificarlo con i calcoli. Inoltre mi pare ci sia un errore nel grafico che hai plottato... ricontrolla...
"ZfreS":
comunque se non ho sbagliato dovrebbe essere così:
$V(k)=pi*k^2*(-k^2/16+4)$
L'altezza mi pare errata... prova a scrivere esplicitamente le coordinate dei punti \(A\) e \(D\) e poi usa la formula per determinare la lunghezza di un segmento orizzontale.
Non ho ben capito. Mettendo a sistema la retta $y=k$ con le due equazioni delle parabole ottengo $k=+-8*sqrt(5)/5$, ma poi devo sostituire questi valori al posto di $y$ in un'equazione per trovare la $x$ oppure no? Comunque ho provato a farlo e mi viene $x=16/5$ sia per il $k$ negativo, sia per quello positivo.
Prima devi prendere una retta $x=k$ e intersecarla con la parabola interna per trovare le ordinate dei punti generici A e B e otterrai $y^2=4k=r^2$, ovvero il raggio al quadrato del nostro cilindro. Adesso vorrai intersecare le due rette $y=+-2sqrt(k)$ con la seconda parabola per trovare l'ascissa comune dei punti generici D e C. Quindi $x=(16-k)/4$
L'altezza del cilindro sarà $h=(16-k)/4-k=(16-5k)/4$
Il volume dipende da k e sarà $V(k)=pir^2h=pi(16k-5k^2)$ ovvero una parabolacon le punte rivolte verso il basso..quindi ha un massimo. Per trovarlo basta fare la derivata e porla uguale a zero, quindi $V^{\prime}(k)=pi(16-10k)=0$ da cui $k=8/5$
L'altezza del cilindro sarà $h=(16-k)/4-k=(16-5k)/4$
Il volume dipende da k e sarà $V(k)=pir^2h=pi(16k-5k^2)$ ovvero una parabolacon le punte rivolte verso il basso..quindi ha un massimo. Per trovarlo basta fare la derivata e porla uguale a zero, quindi $V^{\prime}(k)=pi(16-10k)=0$ da cui $k=8/5$
Grazie tante per la speigazione!
"ZfreS":
Grazie tante per la speigazione!
Prego.
L'altezza del rettangolo immagino sia l'altezza del cilindro ovvero AD=2
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