Problema con le Frazioni
Ciao a tutti! Posto un problema abbastanza semplice; ci ho ragionato per una mezz'ora ma, avendo anche altro da fare, forse è meglio risparmiare tempo e discuterne insieme. 
Franca e Monica impiegano rispettivamente 60 e 40 minuti per potare la siepe di casa. Lavorando insieme (senza ostacolarsi), quanto tempo impiegherebbero?
La velocità di Monica e $3/2$ quella di Franca, pertanto Monica pota $3/5$ della siepe e Franca i restanti.
$3/5 * 40 = 24$ e $2/5 * 60 =24$; pertanto, ci mettono 24 minuti per potare la siepe.
Secondo quesito: Anche Leonardo si unisce al lavoro congiunto di Franca e Monica. Sapendo che Leonardo, da solo, impiega 48 minuti per tagliare la siepe, quanto impiegano lavorando tutti e tre insieme?
Qui ho ragionato come prima, cioè facendo dei rapporti tra i tempi impiegati a tagliare la siepe di tutti e tre i personaggi.
Quindi: $(Leonardo)/(Franca) = 4/5$; $(Monica)/(Leonardo) = 5/6$ e $(Monica)/(Franca)= 2/3$
$mcm (5,6,3) = 30$. Questo rappresenta la totalità della siepe.
Adesso ho ragionato come segue:
Mentre Leonardo "fa 5" (cioè taglia $5/30$ di siepe), Franca "fa 4" e mentre Monica "fa 6", Leonardo "fa 5". Pertanto, Leonardo taglia $1/3$ di siepe.
Facendo un ragionamento analogo per gli altri due, mi risulta che Franca tagli $1/5$ di siepe e Monica $7/15$
Quindi:
Tempo impiegato da Leonardo: $1/3 * 48 = 16$
Tempo impiegato da Franca: $1/5 * 60 = 12$
Tempo impiegato da Monica $ 7/15 * 40 = 18.7$ (è un'approssimazione, ma non è importante).
Il risultato dovrebbe essere di 16 minuti.
Dove sbaglio?
Franca e Monica impiegano rispettivamente 60 e 40 minuti per potare la siepe di casa. Lavorando insieme (senza ostacolarsi), quanto tempo impiegherebbero?
La velocità di Monica e $3/2$ quella di Franca, pertanto Monica pota $3/5$ della siepe e Franca i restanti.
$3/5 * 40 = 24$ e $2/5 * 60 =24$; pertanto, ci mettono 24 minuti per potare la siepe.
Secondo quesito: Anche Leonardo si unisce al lavoro congiunto di Franca e Monica. Sapendo che Leonardo, da solo, impiega 48 minuti per tagliare la siepe, quanto impiegano lavorando tutti e tre insieme?
Qui ho ragionato come prima, cioè facendo dei rapporti tra i tempi impiegati a tagliare la siepe di tutti e tre i personaggi.
Quindi: $(Leonardo)/(Franca) = 4/5$; $(Monica)/(Leonardo) = 5/6$ e $(Monica)/(Franca)= 2/3$
$mcm (5,6,3) = 30$. Questo rappresenta la totalità della siepe.
Adesso ho ragionato come segue:
Mentre Leonardo "fa 5" (cioè taglia $5/30$ di siepe), Franca "fa 4" e mentre Monica "fa 6", Leonardo "fa 5". Pertanto, Leonardo taglia $1/3$ di siepe.
Facendo un ragionamento analogo per gli altri due, mi risulta che Franca tagli $1/5$ di siepe e Monica $7/15$
Quindi:
Tempo impiegato da Leonardo: $1/3 * 48 = 16$
Tempo impiegato da Franca: $1/5 * 60 = 12$
Tempo impiegato da Monica $ 7/15 * 40 = 18.7$ (è un'approssimazione, ma non è importante).
Il risultato dovrebbe essere di 16 minuti.
Dove sbaglio?
Risposte
Ciao @HowardRoark !
Mi permetto di risponderti come ragionerei io: nel primo caso, con Franca e Monica, calcolerei "quanta siepe" taglia ciascuna in un minuto (in pratica la velocità di tagliata al minuto), quindi si avrebbe $F=1/60$ e $M=1/40$. Quindi, per tagliare una siepe, ci impiegano $1/(1/60+1/40)=24 min$.
Allo stesso modo, se aggiungiamo Leonardo, si ha: $1/(1/60+1/40+1/48)= 16 min$.
Spero di esserti stato d'aiuto e, avendo letto il tuo messaggio precedente, mi permetto di farti un grandissimo in bocca al lupo per il nuovo percorso universitario che hai deciso di seguire ed ammiro la tua passione in questo.
Saluti
Mi permetto di risponderti come ragionerei io: nel primo caso, con Franca e Monica, calcolerei "quanta siepe" taglia ciascuna in un minuto (in pratica la velocità di tagliata al minuto), quindi si avrebbe $F=1/60$ e $M=1/40$. Quindi, per tagliare una siepe, ci impiegano $1/(1/60+1/40)=24 min$.
Allo stesso modo, se aggiungiamo Leonardo, si ha: $1/(1/60+1/40+1/48)= 16 min$.
Spero di esserti stato d'aiuto e, avendo letto il tuo messaggio precedente, mi permetto di farti un grandissimo in bocca al lupo per il nuovo percorso universitario che hai deciso di seguire ed ammiro la tua passione in questo.
Saluti
Ti complichi la vita inutilmente ... In un minuto, una fa $1/60$, un'altra $1/40$ e il terzo $1/48$ di siepe.
Queste sono le "velocità" singole, le sommi e trovi la "velocità" del gruppo.
Queste sono le "velocità" singole, le sommi e trovi la "velocità" del gruppo.
"HowardRoark":
Facendo un ragionamento analogo per gli altri due, mi risulta che Franca tagli $1/5$ di siepe e Monica $7/15$
P.S. Credo che l'errore nel tuo ragionamento sia qui. A me risulta che se Leonardo taglia $1/3$, Monica taglia $2/5$ e Franca taglia $4/15$.
Tempo impiegato da Leonardo: $1/3⋅48=16$
Tempo impiegato da Franca: $4/15⋅60=16$
Tempo impiegato da Monica: $2/5⋅40=16$
"BayMax":
[quote="HowardRoark"]Facendo un ragionamento analogo per gli altri due, mi risulta che Franca tagli $1/5$ di siepe e Monica $7/15$
P.S. Credo che l'errore nel tuo ragionamento sia qui. A me risulta che se Leonardo taglia $1/3$, Monica taglia $2/5$ e Franca taglia $4/15$.
Tempo impiegato da Leonardo: $1/3⋅48=16$
Tempo impiegato da Franca: $4/15⋅60=16$
Tempo impiegato da Monica: $2/5⋅40=16$[/quote]
Sarà la stanchezza, ma non riesco a capire come hai ricavato che Franca taglia $4/15$ e Monica $2/5$. Potresti mostrarmi il procedimento che hai adoperato?
Comunque ti ringrazio anche per il bocca al lupo, in effetti ne avevo proprio bisogno!
"axpgn":
Ti complichi la vita inutilmente ... In un minuto, una fa $1/60$, un'altra $1/40$ e il terzo $1/48$ di siepe.
Queste sono le "velocità" singole, le sommi e trovi la "velocità" del gruppo.
In effetti questo metodo mi sembra molto più semplice del mio.
Grazie!
"BayMax":
Sarà la stanchezza, ma non riesco a capire come hai ricavato che Franca taglia $4/15$ e Monica $2/5$. Potresti mostrarmi il procedimento che hai adoperato?
Si, certo. Scusami se ti rispondo solo ora. Dunque, se Leonardo taglia $1/3$, restano da tagliare $2/3$ che, ovviamente, saranno tagliati da Franca e Monica. Poiché Monica taglia i $3/2$ di quanto taglia Franca si ha che $F+3/2F=2/3$ dove con $F$ ho indicato quello che taglia Franca. Quindi $F=4/15$ e $M=2/5$.
Spero sia chiaro e di aver ragionato bene.
Piuttosto tu come hai trovato quei due valori $1/5$ e $7/15$ ? Posta i passaggi se ti va.
"BayMax":
Si, certo. Scusami se ti rispondo solo ora. Dunque, se Leonardo taglia $1/3$, restano da tagliare $2/3$ che, ovviamente, saranno tagliati da Franca e Monica. Poiché Monica taglia i $3/2$ di quanto taglia Franca si ha che $F+3/2F=2/3$ dove con $F$ ho indicato quello che taglia Franca. Quindi $F=4/15$ e $M=2/5$.
Spero sia chiaro e di aver ragionato bene.
Piuttosto tu come hai trovato quei due valori $1/5$ e $7/15$ ? Posta i passaggi se ti va.
Chiarissimo, grazie! Era da molto che non riprendevo più in mano la matematica, spero sia questo il motivo per cui ho avuto così tante difficoltà in questo problema.
Si vede che sto facendo proprio bene a ripassare tutto da capo.
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