Problema con l'applicazione dei limiti
Potreste darmi una mano su questo esercizio?
"Data la semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r, sia AC=$rsqrt2$ una sua corda.Considerato su AO un punto P, detti Q ed R i punti in cui la perpendicolare per P ad AC incontra rispettivamente AC e la semicirconferenza, determinare il limite del rapporto PQ/QR al tendere di P ad A su AO."
Siccome la corda ha la misura riportata sopra , ho considerato quella che va da A a C situato come se fosse il vertice (0;1) di una circonferenza goniometrica, perchè viene considerando il triangolo rettangolo isoscele AOC.
Poi ho posto PA=$x$ così PQ=$xsqrt2/2$, QR=PR-PQ e PO=r-$x$.
Poi ho applicato il teorema di Carnot al triangolo POR con angolo di 135° in P: $r^2=(r-x)^2+PR^2- 2 *PR*(r-x)* cos 135$.
Da ciò esce un'equazione di 2° e mi sono ricavato PR. Ho poi calcolato il limite richiesto ma non mi viene il risultato del libro e cioè "1".
Sicuramente ho sbagliato qualcosa.
Grazie.
Bye.
"Data la semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r, sia AC=$rsqrt2$ una sua corda.Considerato su AO un punto P, detti Q ed R i punti in cui la perpendicolare per P ad AC incontra rispettivamente AC e la semicirconferenza, determinare il limite del rapporto PQ/QR al tendere di P ad A su AO."
Siccome la corda ha la misura riportata sopra , ho considerato quella che va da A a C situato come se fosse il vertice (0;1) di una circonferenza goniometrica, perchè viene considerando il triangolo rettangolo isoscele AOC.
Poi ho posto PA=$x$ così PQ=$xsqrt2/2$, QR=PR-PQ e PO=r-$x$.
Poi ho applicato il teorema di Carnot al triangolo POR con angolo di 135° in P: $r^2=(r-x)^2+PR^2- 2 *PR*(r-x)* cos 135$.
Da ciò esce un'equazione di 2° e mi sono ricavato PR. Ho poi calcolato il limite richiesto ma non mi viene il risultato del libro e cioè "1".
Sicuramente ho sbagliato qualcosa.
Grazie.
Bye.
Risposte
Il procedimento è corretto. Probabilmente hai fatto un errore di calcolo.
Grazie di cuore per l'aiuto fornitomi.
A buon rendere.
Bye.
A buon rendere.
Bye.
questo mi sta facendo impazzire...qualcuno può spiegarmi l'impostazione,io le sto provando tutte:
"dato il triangolo equilatero ABC di lato 2 tracciare con centro in A la circonferenza di raggio 1 che incontri AB in M e AC in PN.Preso un punto P sull'arco MN interno al triangolo,determinare il limite del rapporto PB-PA/PM al tendere di P ad M sull'arco MN"
Io ho impostato che se P tende a M l'angolo alfa ad esso opposto tende a pigreco/3 (60 gradi); PA =1 (raggio); PM (corda)=2r sen alfa...
e qui mi blocco perchè non riesco a ricavare PB
qualcuno sa darmi una mano?.......
"dato il triangolo equilatero ABC di lato 2 tracciare con centro in A la circonferenza di raggio 1 che incontri AB in M e AC in PN.Preso un punto P sull'arco MN interno al triangolo,determinare il limite del rapporto PB-PA/PM al tendere di P ad M sull'arco MN"
Io ho impostato che se P tende a M l'angolo alfa ad esso opposto tende a pigreco/3 (60 gradi); PA =1 (raggio); PM (corda)=2r sen alfa...
e qui mi blocco perchè non riesco a ricavare PB
qualcuno sa darmi una mano?.......
Mmmmm....
$hat(PAK)=x$
$AP=1$
$AK=cos(x)$
$PK=sen(x)$
$AM=1$
$KM=1 - cos(x)$
$PM=sqrt{PK^2 + KM^2}=sqrt{(1 - cos(x))^2 + sen^2(x)}=sqrt{1 - 2cos(x) + cos^2(x) + sen^2(x) }= sqrt{1 - 2cos(x) + 1}=sqrt{2 - 2cos(x)}$
$KB=KM + MB=1 - cos(x) + 1=2 - cos(x)$
$PB=sqrt{PK^2 + KB^2}=sqrt{sen^2(x) + (2 - cos(x))^2}=sqrt{sen^2(x) + 4 - 4cos(x) + cos^2(x)}=sqrt{1 + 4 - 4cos(x)}=sqrt{5 - 4cos(x)}$
$frac{PB-PA}{PM}=frac{sqrt{5 - 4cos(x)} - 1}{sqrt{2 - 2cos(x)}$
$lim_{x to 0}frac{sqrt{5 - 4cos(x)} - 1}{sqrt{2 - cos(x)}}=[frac{0}{0}]$
De L'Hopital
$lim_{x to 0}frac{frac{1}{2sqrt{5 - 4cos(x)}}*4sen(x)}{frac{1}{2sqrt{2 - 2cos(x)}}*2sen(x)}=frac{1}{2sqrt{5 - 4cos(x)}}*4sen(x)*2sqrt{2 - 2cos(x)}*frac{1}{2sen(x)}=frac{2*0}{1}=0$
Salvo probabilissimi errori (dei quali chiedo scusa anticipatamente)
$hat(PAK)=x$
$AP=1$
$AK=cos(x)$
$PK=sen(x)$
$AM=1$
$KM=1 - cos(x)$
$PM=sqrt{PK^2 + KM^2}=sqrt{(1 - cos(x))^2 + sen^2(x)}=sqrt{1 - 2cos(x) + cos^2(x) + sen^2(x) }= sqrt{1 - 2cos(x) + 1}=sqrt{2 - 2cos(x)}$
$KB=KM + MB=1 - cos(x) + 1=2 - cos(x)$
$PB=sqrt{PK^2 + KB^2}=sqrt{sen^2(x) + (2 - cos(x))^2}=sqrt{sen^2(x) + 4 - 4cos(x) + cos^2(x)}=sqrt{1 + 4 - 4cos(x)}=sqrt{5 - 4cos(x)}$
$frac{PB-PA}{PM}=frac{sqrt{5 - 4cos(x)} - 1}{sqrt{2 - 2cos(x)}$
$lim_{x to 0}frac{sqrt{5 - 4cos(x)} - 1}{sqrt{2 - cos(x)}}=[frac{0}{0}]$
De L'Hopital
$lim_{x to 0}frac{frac{1}{2sqrt{5 - 4cos(x)}}*4sen(x)}{frac{1}{2sqrt{2 - 2cos(x)}}*2sen(x)}=frac{1}{2sqrt{5 - 4cos(x)}}*4sen(x)*2sqrt{2 - 2cos(x)}*frac{1}{2sen(x)}=frac{2*0}{1}=0$
Salvo probabilissimi errori (dei quali chiedo scusa anticipatamente)
sono senza parole....grazie di cuore
ps:sai dove sbagliavo...il grafico...che scema!
ps:sai dove sbagliavo...il grafico...che scema!
Di niente, figurati.
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