Problema con la parabola parallela all'asse y

[Twinklet]

Determina l'equazione del fascio di parabole con asse parallelo all'asse y, passanti per i punti A(-1;1) e B(1;-1). Trova poi la parabola del fascio con concavità verso l'alto e con il vertice sulla retta di equazione y=-x-3/4.
R:[y=kx^2-x-k; yx^2-x-1]
Qualcuno che sa spiegarmi come risolverlo?

[Ali Q]

Ciao, Twiklet! Ecco a te la soluzione dell'esercizio:

PRIMO QUESITO:

Esiste più di un modo di procedere, in verità. Te ne propongo però uno molto semplice. La generica equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y (cioè ad asse verticale) è la seguente:
ax^2 + bx + c = y

Sostituiamo in questa equazione le coordinate del punto A, per cui le parabole del fascio dovranno passare: A(-1,1)
a - b + c = 1
a + c = 1 + b
b = (a + c -1)

Sostituiamo questo risultato nell'equazione della parabola:
y = ax^2 + (a + c -1) x + c

Ora sostituiamo nell'equazione le coordinate del punto B(1,-1), secondo punto per cui passa il fascio:
-1 = a + (a + c -1) + c
-1 = 2 a + 2 c -1
0 = 2a + 2 c
a + c = 0

Quindi: b = (a+c-1) = -1
a = -c

L'equazione del fascio di parabole è:
y = ax^2 -x -a

O, se si preferisce utilizzare una nomenclatura più convenzionale: y = kx^2 -x-k

SECONDO QUESITO:

La parabola ha concavità verso l'alto. Essa è dunque una parabola ad asse verticale con coefficiente a>0, o meglio k>0.
y = kx^2 - x -k

Il vertice di questa parabola ha coordinate:
X(V) = -b/2a = 1/2k
Y(V) = (4ac-b^2)/4a = (-4k^2 -1)/4k

Questo punto appartiene alla retta:
y = -x -3/4

Troviamo dunque il valore di k che soddisfa questo requisito e tale che sia maggiore di 0 (per la concavità):
(-4k^2 -1)/4k = -1/2k -3/4
-4k^2 -1 = -4k/2k -3k
-4k^2 - 1 = -2k -3k
-4k^2 -1 = -5k
-4k^2 + 5 k -1 = 0

Delta = 25 -16 = 9
k = (-5 +/- 3)/-8

k = 1 oppure k = 1/4. Utilizzando il primo valore (ma anche il secondo sndrebbe bene):
y = x^2 - x -1

Fine. Ciao!!!