Problema con integrali definiti

[oleg.fresi]

Ho questo esercizio: calcolare la derivata di $F(x)=int_{x}^{x+2}ln(t)dt$. Ciò che non capisco è cosa dovrei fare per calcolare la derivata. Non è una funzione come le altre del tipo $y=f(x)$ dove posso applicare varie regole. Potreste aiutarmi per favore?

[Obidream]

Conosci il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale? ( P.S È quel risultato di cui non capisci la straordinarietà )

[vict85]

Suppongo che il suo problema sia che in \(F\) la dimensione dell'intervallo di integrazione è fisso. Detto questo, il problema si può risolvere anche senza usare alcun teorema particolare. Insomma, fissata \(x\), puoi calcolare l'integrale definito e poi derivare in \(x\) il risultato.

Alternativamente puoi usare il teorema fondamentale del calcolo integrale sulla funzione \(\displaystyle F(x) = \int_x^{x+2} \ln(t)\,dt = \int_a^{x+2} \ln(t)\,dt - \int_a^{x} \ln(t)\,dt \) dove \(a\) è un qualsiasi reale positivo.

[oleg.fresi]

Per il primo metodo intendi questo?
$(t*ln(t)-t)|_x^(x+2)$

[@melia]

Supponi che $G(t)$ sia una delle infinite primitive di $y=ln(t)$, allora per definizione $G'(t)=ln(t)$.

Tornando all'esercizio:

$ F(x)=int_{x}^{x+2}ln(t)dt = G(x+2)- G(x)$ calcolare la derivata di $F(x)$ significa calcolare

$F'(x)=G'(x+2)*(x+2)' -G'(x)*x'= ln(x+2)*1- ln(x) *1=$
$=ln(x+2)-ln(x)= ln((x+2)/x)$

[Bokonon]

Io lo farei come ha fatto Vic usando il teorema fondamentale del calcolo con l'eccezione che spezzerei gli integrali così:

$ int_(x)^(x+2) ln(t) dt= int_(0)^(x+2) ln(t) dt-int_(0)^(x) ln(t) dt$
Derivando si ottiene direttamente $ln(x+2)-ln(x)=ln((x+2)/x)$

[oleg.fresi]

Ah adesso ho capito, grazie mille!

[vict85]

@ZfreS: Si intendevo quello. Il metodo 2 è molto più semplice e diretto.