Problema con incognita di applicazione alla similitudine

[valenta93]

ciao a tutti e buon inizio settimana!!
ho un problema con un problema (xD).

questo è il testo:

considera una semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r

[math]\sqrt{2}[/math]

. Sulla tangente t^1 in A prendi un punto P e da esso traccia una nuova tangente t^2 alla circonferenza che interseca la perpendicolare condotta da O ad AB nel punto Q. Dopo aver dimostrato che i segmenti PQ e OQ sono uguali, determina la posizione di P in modo che l'area del trapezio OAPQ sia

[math]\frac{7}{4}[/math]

[math]\sqrt{x^2+1}[/math]

SOLUZIONE

A=

[math]\frac{1}{3}r[/math]

oppure

[math]AP= 2r[/math]

ho iniziato in questo modo:

AB=

[math]2r\sqrt{2}[/math]

AO=

[math]r\sqrt{2}[/math]

congiungo P con o.

l'angolo APO è congruente all'angolo APQ per il teorema delle tangenti
l'angolo QOP è congruente all'angolo APO perchè alterni interni (rette // PA,QO trasv PO)

per la proprietà transitiva l'angolo OPQ è congruente a QOP
Quindi il triangolo PQO è isoscele --> PQ congruente a QO

ho difficolta a trovare AP

io so l'area quindi me la scrivo in formula

[math]\frac{(PA+OQ)AO}{2} = [/math]

[math]\frac{7}{4}[/math]

[math]r^2\sqrt{2}[/math]

ponendo un incognita poi non so trovare tutto quello che mi serve in funzione di x.

GRAZIE =) ^^

[BIT5]

Dal momento che sai che l'angolo APO è congruente a OPQ, tracciando da Q l'altezza del triangolo isoscele OPQ, ottieni due triangoli rettangoli simili a APO (entrambi hanno un angolo retto e un angolo congruente).

Quindi se poni AP=x, avrai per il teorema di Pitagora la lunghezza di PO.
La metà di PO sarà il corrispondente del cateto PA, mentre PQ (ovvero QO) sarà il corrispondente di PO per similitudine dei due triangoli..

[valenta93]

grazie tante... non ci avevo pensato

mi è venuto un dubbio

PO^2 =

[math]\sqrt{x^2 + 2r^2}[/math]

posso scrivere:

PO= x+2r ??

grazie poi non ti disturbo più

[BIT5]

:no:no

La radice (come l'elevamento a potenza) è distributiva rispetto al prodotto/divisione.

Pertanto

[math](ab)^2=a^2b^2[/math]

E quindi

[math]\sqrt{ab}= \sqrt{a} \sqrt{b}[/math]

Ma

[math](a+b)^2 \ne a^2+b^2[/math]

E quindi

[math]\sqrt{a+b} \ne \sqrt a + \sqrt b[/math]

E poi stai attenta....

Quello che hai scritto sotto radice è PO, non è PO^2!

[math]PO^2= x^2+2r^2[/math]

Oppure

[math]PO= \sqrt{x^2+r^2}[/math]

[valenta93]

ok va bene. grazie... scusa.
L'ultimo pezzo ho solo confuso a mettere la radice in PO^2

quindi lascio PO=

[math]\sqrt{x^2 + 2r^2}[/math]

[BIT5]

E poi per risolvere, se ti è necessario (io ho solo impostato il problema, ma non l'ho risolto :satisfied ) al massimo elevi ambo i membri dell'uguaglianza al quadrato ed elimini la radice.

[valenta93]

ok grazie. tanto io volevo una mano non volevo che tu me lo risolvessi.. anche perchè non servirebbe a niente =) ora devo andare a tennis. ti so dire se mi è venuto

grazie mille.

[BIT5]

Condivido pienamente la tua affermazione!
(E credo di poter dire, che la condivide anche la politica del sito....)

[valenta93]

ciao sono ancora io xD

adesso mi ci sono messa bene a fare il problema

Dopo aver trovato

[math]PO= \sqrt{x^2 + 2r^2}[/math]

scrivo la proporzione

[math]AP : PK= PO: PQ[/math]

[math]X:{sqrt{x^2+2r^2}/2 = \sqrt{x^2+2r^2} : PQ [/math]

mi sembra un po' strana questa cosa

viene

[math]PQ= \sqrt{x^4 + 2r^4 + 4r^2x^2}/x[/math]

[BIT5]

[math]PQ= \frac{ \sqrt{x^2+2r^2} \cdot \sqrt{x^2+2r^2}}{x} =[/math]

[math]\frac{x^2+2r^2}{x}[/math]

Dal momento che

[math]\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}= \sqrt{a^2} = |a|[/math]

Ma dal momento che siamo in geometria (e pertanto a è sicuramente >0), il valore assoluto è superfluo

Nel conto che hai fatto tu, hai ottenuto 2r^4, ma è un errore di calcolo

[valenta93]

ok che scema che sono!!!!!.. boh oggi sono completamente fusa. ma il diviso due? ....

vado a rifarlo..xD ^^

grazie 1000

[BIT5]

valenta93:
ma il diviso due? ....

Me lo sono perso.... Viene tutto fratto 2x!

[valenta93]

uffa!! ancora non mi viene

Prendo la risolvente

[math]\frac{(PA + PO)AO }{2} =[/math]

[math]\frac{7}{4}[/math]

[math]r^2\sqrt{2}[/math]

alla fine ho

[math]4x^2r\sqrt{2} - 7xr^2\sqrt{2} + 4r^3\sqrt{2} = 0[/math]

il discriminante viene negativo

[BIT5]

[math]PA=x[/math]

[math]QO=PQ= \frac{x^2+2r^2}{2x}[/math]

[math]AO=r \sqrt{2}[/math]

Area del trapezio

[math]\frac{(PA+OQ) \cdot AO}{2}[/math]

[math]\frac{(x+ \frac{x^2+2r^2}{2x})r \sqrt{2}}{2}=\frac{7}{4}r^2 \sqrt{2}[/math]

[math]r \sqrt{2}[/math]

E' fattore da ambo le parti e posso semplificarlo

[math]\frac{x+ \frac{x^2+2r^2}{2x}}{2}=\frac{7r}{4}[/math]

Anche il denominatore si semplifica (il 2 va via e rimane 2 solo a destra)

[math] x+ \frac{x^2+2r^2}{2x}=\frac{7r}{2}[/math]

Minimo comune multiplo

[math]\frac{2x^2+x^2+2r^2}{2x}=\frac{7rx}{2x}[/math]

Elimino il Denominatore (con, ovviamente, x diverso da 0)

[math]3x^2+2r^2-7rx=0[/math]

Ordino

[math]3x^2-7rx+2r^2=0[/math]

Il delta è positivo... e viene anche un gran bel delta :satisfied

tu hai preso PA+PO... :con

[valenta93]

mmmm no non ho preso PA+PO ho sbagliato a scrivere...ho problemi a scrivere con latex xD

l'impostazione è giusta. ho sbagliato sicuramente i calcoli.. non so di preciso dove perchè io non ho semplificato.. logicamente mi sono portata tutto dietro xD così in mezzo alle radici ho sicuramente sbagliato....

grazie mille!!!! finalmente ho(hai) concluso il problema..

[BIT5]

Direi che l'abbiamo concluso insieme..

Alla prossima!
Chiudo..