Problema con i limiti....
Data l'ellisse $ x^2/4+y^2/9=1 $ e la retta $3x+2y-6=0$ mi chiede di trovare i punti di intersezione e l'ho fatto... mi esce A(2;0) e B(0;3)
Mi dice di considerare un punto P sull'arco AB e di calcolare $ lim_(P -> A) PK//PH $ dove PK è la distanza di P dalla retta data e PH è la distanza dalla tangente all'ellisse in A....
Come devo risolverlo??
Mi dice di considerare un punto P sull'arco AB e di calcolare $ lim_(P -> A) PK//PH $ dove PK è la distanza di P dalla retta data e PH è la distanza dalla tangente all'ellisse in A....
Come devo risolverlo??
Risposte
Ti serve l'equazione della tangente in A e non è difficile, trattandosi di un vertice (altrimenti potevi trovarla con lo sdoppiamento). Poi ti serve dire che P sta sull'ellisse, e per questo ricavi $y$ dalla sua equazione, trovando $y=+-3/2 sqrt(4-x^2)$: due soluzioni, ma solo una è sull'arco AB e prendi quella, che chiamerò $y_1$. Ora, sapendo che si ha $P(x,y_1)$, calcoli PH e PK e poi il limite. Suggerisco di iniziare con
$lim_(P->A)(PK)/(PH)=sqrt(lim_(P->A)(PK^2)/(PH^2))$
$lim_(P->A)(PK)/(PH)=sqrt(lim_(P->A)(PK^2)/(PH^2))$
ecco, io ho un dubbio nel momento in cui devo dire che il punto P è sull'ellisse...
Ho ricavato la y dall'equazione dell'ellise e mi trovo quel risultato... ma adesso? devo trovare anche la x?
Ho ricavato la y dall'equazione dell'ellise e mi trovo quel risultato... ma adesso? devo trovare anche la x?
Non hai altri dati, quindi non puoi trovare la x. Inoltre, se devi calcolare un limite, di sicuro c'è una variabile ed ha buone probabilità di essere x. Devi invece calcolare PH e PK in funzione di x, e poi sostituirli nel limite richiesto. Se P tende ad A, a cosa tende x?
Ripensandoci, è meglio non calcolare i quadrati delle distanze; PH si calcola subito e per PK usa la formula per la distanza di un punto da una retta; ricorda poi che il limite di un valore assoluto è il valore assoluto del limite (bè, se entrambi esistono, ma è il tuo caso).
Ripensandoci, è meglio non calcolare i quadrati delle distanze; PH si calcola subito e per PK usa la formula per la distanza di un punto da una retta; ricorda poi che il limite di un valore assoluto è il valore assoluto del limite (bè, se entrambi esistono, ma è il tuo caso).
allora, ricapitoliamo.... mi calcolo le coordinate del punto P ricavando la y dall'equazione dell'ellise.
poi, calcolo la distanza del punto dalla retta e dalla tangente e poi faccio il limite normalmente?
ma nel limite P che tende ad A resta così?
poi, calcolo la distanza del punto dalla retta e dalla tangente e poi faccio il limite normalmente?
ma nel limite P che tende ad A resta così?
Rileggi il mio ultimo intervento; avevo chiesto "Se P tende ad A, a cosa tende x?"
a 2 no?
Sì
ok, allora, forse qualcosa sto iniziando a capirla...
Ho trovato il valore di PK = $ [3 sqrt(13)(x+sqrt (4+x^2) -2)] /13 $
poi ho calcolato la retta tangente all'ellisse in A, tale retta ha equazione x-2=0 e la distanza di P da tale retta vale x-2
ora ho impostato il limite ma mi esce nella forma indeterminata 0/0!! =(
ecco come mi esce... $ lim_(x -> 2) [3 sqrt(13)(x+sqrt (4+x^2) -2)] /(13x-26) $
Ho trovato il valore di PK = $ [3 sqrt(13)(x+sqrt (4+x^2) -2)] /13 $
poi ho calcolato la retta tangente all'ellisse in A, tale retta ha equazione x-2=0 e la distanza di P da tale retta vale x-2
ora ho impostato il limite ma mi esce nella forma indeterminata 0/0!! =(
ecco come mi esce... $ lim_(x -> 2) [3 sqrt(13)(x+sqrt (4+x^2) -2)] /(13x-26) $
pardon, è $sqrt(4-x^2)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo