Problema con funzioni e derivate

[Fregior]

Salve, ho incontrato alcuni punti difficoltosi con un problema che vi sottopongo.
Data la funzione $f(x)=ax(|x|+b)$ con $a,b \in R-{0}$

1)Verificare che è derivabile in R qualsiasi siano $a,b \in R-{0}$
A questo punti mi chiedo, la funzione è derivabile ovunque tranne in 0 dove possono esserci dei problemi e potrebbe esserlo se $b=-|x|$...come opero, che faccio?
Io avevo pensato di fare la derivata da destra e da sinistra e mi viene (applicando la formula dei prodotti):
$y'=a|x|+ab+ax|$ (è giusto?) a questo punto me la studio da destra e da sinistra e mi verrebbe:
$ lim_(x -> 0-) (a|x|+ab+ax)=lim_(x -> 0-) (ax+ab-ax|)=ab $ e $ lim_(h -> 0+) (a|x|+ab+ax|)=lim_(h -> 0+) (ax+ab+ax|)=0 $
quindi la derivata destra e sinistra coincidono, a fronte di ciò posso dire che è derivabile in R?

2)Determinare $a$ e $b$ affinché la retta tangente t nell'origine sia parallela alla retta $8x+2y-3=0$ e che la tangente t1 nel punto $x=3/2$ abbia $m=2$
Ecco come ho svolto:
per la prima condizione faccio $y'(0)=ab$ e essendo questo il coefficiente angolare in $x=0$ della tangente la metto uguale al coefficiente angolare della parallela quindi $ab=-4$ e dalla seconda condizione faccio $y'(3/2)=3a+ab=2$
risolvo il sistema:
$\{(ab=-4), (3a+ab=2):}$
ovvero
$\{(ab=-4), ((3a-4=2)=a=2):}$
che dà
$\{(b=-2), (a=2):}$
È tutto corretto?
Ho commesso errori logici ho altro?
Ci sarebbero stati modi più veloci?
E un'altra domanda, che ora mi sfugge quand'è che a sistema devo mettere anche le ordinate per trovare una condizione di tangenza?
Grazie, saluti.

[giammaria2]

C'è qualche piccola pecca, quasi certamente dovuta alla digitazione, e storco il naso davanti a $b=-|x|$: una costante uguagliata ad una funzione? A parte questo, noto un unico errore: la derivata di $|x|$ è 1 se x è positivo, ma -1 se è negativo; spesso si dice che la derivata è $(|x|)/x$.
Quanto alla domanda di quando occorre mettere a sistema anche le ordinate, la risposta è piuttosto ovvia: quando il problema lo richiede. Di solito lo fa parlando di tangente in un punto dato e questo equivale a chiedere il passaggio per quel punto (e quindi la l'ordinata) e la pendenza della tangente (e quindi la derivata).