Problema con equazioni fratte..........

[niere]

Non riesco a capire certe equazioni fratte... per esempio:

$ 1 / (5x - 2) - 3 /(2 - 5x ) = (3x + 3) / (5x^(2) - 2x) $

Non capisco come trovare l'mcm...

- Prima si scompone il quadrato giusto? cioè $ (5x^(2) - 2x) $ scomponendolo diventa $ x (5x - 2) $, ma poi? uso $5x - 2$ come mcm?

- Qualcuno mi può spiegare in modo chiaro e semplice questo passaggio?

- Il resto dell'equazione riesco a risolverla, mi blocco nel trovare l'mcm........grazie

[sradesca]

come m.c.m devi usare entrambi i fattori $x$ e $5x-2$ quindi il m.c.m è $5x^2-2x$

[redlex91-votailprof]

Innanzitutto l'esistenza, se no non si fa niente:
$xne0
$xne2/5

Poi possiamo notare che $2-5x=-(5x-2)$, quindi:

$1/(5x-2)-3/(-(5x-2))=(3x+3)/(x(5x-2))

$1/(5x-2)+3/(5x-2)=(3x+3)/(x(5x-2))

Quindi l'$m.c.m.$ deve essere il più piccolo multiplo comune a tutte le grandezze a denominatore, che sono $5x-2$ e $x$, pertanto $m.c.m.=x(5x-2)$.

[niere]

@simo90: Quindi devo usare il denominatore con esponente più alto diciamo... cioè $ (5x^2 - 2x)$, però poi mi diventa:

$ (x + x - 3 (-x - x)) / (5x^2 - 2x) = (3x + 3 ) / (5x^2 - 2x) $

Ma sicuramente ho sbagliato mentre dividevo l'mcm cioè con il segno negativo di $ - 3 / (2 - 5x) $ dividendolo con $ (5x^2 - 2x)$

[niere]

"friction":Innanzitutto l'esistenza, se no non si fa niente:
$xne0
$xne2/5

Poi possiamo notare che $2-5x=-(5x-2)$, quindi:

$1/(5x-2)-3/(-(5x-2))=(3x+3)/(x(5x-2))

$1/(5x-2)+3/(5x-2)=(3x+3)/(x(5x-2))

Quindi l'$m.c.m.$ deve essere il più piccolo multiplo comune a tutte le grandezze a denominatore, che sono $5x-2$ e $x$, pertanto $m.c.m.=x(5x-2)$.

Mi avete dato due risposte diverse mi sa

Ma poi dopo: $1/(5x-2)+3/(5x-2)=(3x+3)/(x(5x-2))$

l'mcm unico quale sarebbe? cioè diventa:
$(x - 3x) /(x(5x-2)) = (3x + 3) / (x (5x - 2))$ ?

[redlex91-votailprof]

No, è che non ho continuato la risoluzione, verrebbe facendo l'$m.c.m.$ come detto sopra:

$(x+3x)/(x(5x-2))=(3x+3)/(x(5x-2))

quindi il denominatore lo possiamo "eliminare" in quanto non ci dà delle soluzioni (anzi, i numeri che lo annullano sono stati proprio esclusi)

$x+3x=3x+3\implies x=3$ accettabile.

Per capire meglio l'$m.c.m.$ forse può essere d'aiuto fare qualche esempio:

tra $6$ e $3$: allora vediamo $6=2*3$ quindi il numero più piccolo che sia multiplo sia di $6$ che di $3$ è...
tra $12$ e $8$: scomposto in fattori diventano $2^2*3$ e $2^3$, quindi...
tra $x$ e $2x$:...
tra $x+1$, $x-1$, $x^2-1$:...
tra $x^2-5x+6$, $2x-6$:...

[niere]

"friction":No, è che non ho continuato la risoluzione, verrebbe facendo l'$m.c.m.$ come detto sopra:

$(x+3x)/(x(5x-2))=(3x+3)/(x(5x-2))

quindi il denominatore lo possiamo "eliminare" in quanto non ci dà delle soluzioni (anzi, i numeri che lo annullano sono stati proprio esclusi)

$x+3x=3x+3\implies x=3$ accettabile.

Per capire meglio l'$m.c.m.$ forse può essere d'aiuto fare qualche esempio:

tra $6$ e $3$: allora vediamo $6=2*3$ quindi il numero più piccolo che sia multiplo sia di $6$ che di $3$ è...
tra $12$ e $8$: scomposto in fattori diventano $2^2*3$ e $2^3$, quindi...
tra $x$ e $2x$:...
tra $x+1$, $x-1$, $x^2-1$:...
tra $x^2-5x+6$, $2x-6$:...

Mi ero persa quando hai cambiato il segno davanti a $ - 3 / -(5x - 2)$ cioè prima hai scomposto, mettendo il meno davanti, e poi per farlo diventare + come hai fatto? hai moltiplicato -1 la frazione?

Comunque provo a rispondere a queste:

1. tra $6$ e $3$: allora vediamo $6=2*3$ quindi il numero più piccolo che sia multiplo sia di $6$ che di $3$ è... 6
2. tra $12$ e $8$: scomposto in fattori diventano $2^2*3$ e $2^3$, quindi...24 perchè $2^3*3$ ho preso il massimo esponente
3. tra $x$ e $2x$:... $2x$ perchè 2x include anche x
4. tra $x+1$, $x-1$, $x^2-1$:...è in questi tipi che mi sbaglio e confondo...allora $x^2-1$ è il quadrato e va scomposto in $(x + 1)(x - 1)$ e uso questo come m.c.m. giusto?
5. tra $x^2-5x+6$, $2x-6$:... $x^2-5x+6$ non lo posso raccogliere per x perchè il 6 non ha la x.. +6 e -6 però potrebbero essere eliminate e rimane x(-5x) * 2x...boh non lo so

[redlex91-votailprof]

Per la questione del segno: ho raccolto $-1$ al denominatore poiché il fattore che ci interessa è $5x-2$ e non $2-5x$, quindi dato che davanti alla frazione c'è un altro meno, per la regola dei segni $- \cdot - = +$, ottengo $3/(5x-2)$.
Se ad esempio io ho:

$8/(2x^2-x)+(x-1)/(1-2x)=1

Innanzitutto la CE: $x ne 0 ^^ x ne 1/2

poi scomponiamo in fattori:

$8/((2x-1)x)+(x-1)/(-(2x-1))=1

quindi nella seconda frazione portiamo il $-$ davanti alla frazione, possiamo farlo poiché $-a/b,(-a)/b,a/(-b), \forall a,b\inZZ$ sono scritture equivalenti:

$8/((2x-1)x)-(x-1)/(2x-1)=1

adesso facciamo l'$m.c.m.$: i fattori sono $x$ e $2x-1$, dobbiamo prenderli entrambi, quindi:

$(8-(x-1)x)/((2x-1)x)=(2x^2-x)/((2x-1)x)

via i denominatori:

$8-x^2+x=2x^2-x

$3x^2-2x-8=0

$3x^2-6x+4x-8=0

$3x(x-2)+4(x-2)=(x-2)(3x+4)=0

le soluzioni cercate sono: $x=2vvx=-4/3$ entrambe accettabili.

Allora... 1,2,3 sono ok. La 4 pure, infatti $x^2-1$ (credo si chiami diffrenza di quadrati) si scompone, come hai detto tu, in $(x-1)(x+1)$; noi cerchiamo il più piccolo numero che sia multiplio e di $x-1$ e di $x+1$ e di $x^2-1=(x-1)(x+1)$ pertanto è semplicemente $(x-1)(x+1)$.

Per la 5: $x^2-5x+6$ è il cosiddetto "trinomio notevole" (forse non l'hai ancora studiato, in questo caso non ragioniam di lui, ma guarda e passa , in caso contrario...) si procede in questo modo: dobbiamo trovare due numeri interi $\xi_1$ e $\xi_2$ tali che la loro somma sia $-5$ ed il loro prodotto sia $+6$. Dal fatto che il loro prodotto è positivo possiamo fare due ipotesi:
-$\xi_1$ e $\xi_2$ entrambi positivi;
-$\xi_1$ e $\xi_2$ entrambi negativi (si riassume dicendo che $\xi_1$ e $\xi_2$ sono concordi).
Ma la loro somma è negativa, allora sono due numeri negativi. Quali sono quei due numeri negativi tali che la loro somma sia $-5$ ed il loro prodotto sia $+6$? Vediamo quali sono i fattori di $6$: $1,2,3,6,-1,-2,-3,-6$. Tra questi scegliamo quei due numeri (negativi) la cui somma è $-5$: sono $-2$ e $-3$. Quindi $x^2-5x+6$ si scompone in $(x-2)(x-3)$. Il secondo invece si scompone banalmente in $2(x-3)$. Ora sapresti dirmi qual è il loro $m.c.m.$?

[niere]

"friction":Per la questione del segno: ho raccolto $-1$ al denominatore poiché il fattore che ci interessa è $5x-2$ e non $2-5x$, quindi dato che davanti alla frazione c'è un altro meno, per la regola dei segni $- \cdot - = +$, ottengo $3/(5x-2)$.
Se ad esempio io ho:

$8/(2x^2-x)+(x-1)/(1-2x)=1

Innanzitutto la CE: $x ne 0 ^^ x ne 1/2

poi scomponiamo in fattori:

$8/((2x-1)x)+(x-1)/(-(2x-1))=1

quindi nella seconda frazione portiamo il $-$ davanti alla frazione, possiamo farlo poiché $-a/b,(-a)/b,a/(-b), \forall a,b\inZZ$ sono scritture equivalenti:

$8/((2x-1)x)-(x-1)/(2x-1)=1

adesso facciamo l'$m.c.m.$: i fattori sono $x$ e $2x-1$, dobbiamo prenderli entrambi, quindi:

$(8-(x-1)x)/((2x-1)x)=(2x^2-x)/((2x-1)x)

via i denominatori:

$8-x^2+x=2x^2-x

$3x^2-2x-8=0

$3x^2-6x+4x-8=0

$3x(x-2)+4(x-2)=(x-2)(3x+4)=0

le soluzioni cercate sono: $x=2vvx=-4/3$ entrambe accettabili.

Allora... 1,2,3 sono ok. La 4 pure, infatti $x^2-1$ (credo si chiami diffrenza di quadrati) si scompone, come hai detto tu, in $(x-1)(x+1)$; noi cerchiamo il più piccolo numero che sia multiplio e di $x-1$ e di $x+1$ e di $x^2-1=(x-1)(x+1)$ pertanto è semplicemente $(x-1)(x+1)$.

Per la 5: $x^2-5x+6$ è il cosiddetto "trinomio notevole" (forse non l'hai ancora studiato, in questo caso non ragioniam di lui, ma guarda e passa , in caso contrario...) si procede in questo modo: dobbiamo trovare due numeri interi $\xi_1$ e $\xi_2$ tali che la loro somma sia $-5$ ed il loro prodotto sia $+6$. Dal fatto che il loro prodotto è positivo possiamo fare due ipotesi:
-$\xi_1$ e $\xi_2$ entrambi positivi;
-$\xi_1$ e $\xi_2$ entrambi negativi (si riassume dicendo che $\xi_1$ e $\xi_2$ sono concordi).
Ma la loro somma è negativa, allora sono due numeri negativi. Quali sono quei due numeri negativi tali che la loro somma sia $-5$ ed il loro prodotto sia $+6$? Vediamo quali sono i fattori di $6$: $1,2,3,6,-1,-2,-3,-6$. Tra questi scegliamo quei due numeri (negativi) la cui somma è $-5$: sono $-2$ e $-3$. Quindi $x^2-5x+6$ si scompone in $(x-2)(x-3)$. Il secondo invece si scompone banalmente in $2(x-3)$. Ora sapresti dirmi qual è il loro $m.c.m.$?

M.c.m. $2(x-2)(x-3)$?

[redlex91-votailprof]

Proprio lui.

[niere]

E per esempio in questa:

$1/(4x+8) + 1/[3(x^2 - 4x + 4)] = 1/(4x -8)$

I denominatori sono:

$(4x + 8)$ = $4(x + 2)$ scomponendolo

$3(x^2-4x +4) $= devo prendere in considerazione $x^2 -4x + 4$? quindi scomponendolo: $3(x+2)(x+2)$

$(4x - 8)$ = $4(x - 2)$


Ho provato tutti le varie cose: $12(x+2)(x-2)$ ma sembra che sia sbagliato; $12(x+2)(x-2) $e niente..$12(x+2)$ ecc bohhh..

Ma non devo raccogliere tra loro anche $3*4$?

[redlex91-votailprof]

$4x+8=4(x+2)=2^2(x+2)
$4x-8=4(x-2)=2^2(x-2)
$3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2

Allora prendi tutti i fattori che si presentano, con grado maggiore: $2^2*3*(x+2)*(x-2)^2

[niere]

"friction":$4x+8=4(x+2)=2^2(x+2)
$4x-8=4(x-2)=2^2(x-2)
$3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2

Allora prendi tutti i fattori che si presentano, con grado maggiore: $2^2*3*(x+2)*(x-2)^2

Ok grazie mille, mi è risultata..poi ne ho fatte altre 4 e mi sono risultate subito, alla prima...ma mi sono di nuovo bloccata è una cosa impossibile..

$1/(8 - 2x^2) + 1/(8 + 2x^2 - 4x) + 1/(x^3 + 8)= 0$


I denominatori si devono scomporre:

$(8 - 2x^2)$ =$ 2(4 - 2x^2)$
$(8 + 2x^2 - 4x)$ = bohhhh, nemmeno con la formula per le equazioni di secondo grado riesco a ricavare qualcosa
$(x^3 + 8)$ = non si può scomporre

[Gi81]

$8-2x^2=2(4-x^2)=2(2-x)(2+x)$
$8+2x^2-4x=2(x^2+4-2x)$
$x^3+8=(x+2)(x^2+4-2x)$
Quindi il $m.c.m.$ è ...

[niere]

"Gi8":$8-2x^2=2(4-x^2)=2(2-x)(2+x)$
$8+2x^2-4x=2(x^2+4-2x)$
$x^3+8=(x+2)(x^2+4-2x)$
Quindi il $m.c.m.$ è ...

$2(x+2)(2-x)(x^2 + 4 - 2x)$ ?

[Gi81]

esatto

[niere]

"Gi8":esatto

ok grazie mille..hai raccolto parzialmente?

[Gi81]

$8-2x^2=2(4-x^2)=2(2-x)(2+x)$ Prima ho raccolto il $2$, poi ho sviluppato la differenza di due quadrati: $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$
$8+2x^2-4x=2(x^2+4-2x)$ Beh, qui ho solo raccolto il $2$
$x^3+8=(x+2)(x^2+4-2x)$ Qui ho sviluppato la somma di due cubi: $A^3+B^3=(A+B)(A^2+B^2-AB)$

Se non conosci bene queste formule guarda qui, alla voce "Prodotto della somma di due o più termini per la loro differenza"

[niere]

"Gi8":$8-2x^2=2(4-x^2)=2(2-x)(2+x)$ Prima ho raccolto il $2$, poi ho sviluppato la differenza di due quadrati: $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$
$8+2x^2-4x=2(x^2+4-2x)$ Beh, qui ho solo raccolto il $2$
$x^3+8=(x+2)(x^2+4-2x)$ Qui ho sviluppato la somma di due cubi: $A^3+B^3=(A+B)(A^2+B^2-AB)$

Se non conosci bene queste formule guarda qui, alla voce "Prodotto della somma di due o più termini per la loro differenza"

Ok grazie mille!

[niere]

Ho un problema con questa equazione fratta:

$[1 -((3x)/(3x + 1))^2] : ((3x)/(3x+1) + 1) - (3x)/(3x+1) =0$

il $((3x)/(3x+1))^2$ come lo devo scomporre o svolgere?

[G.D.5]

Non lo devi né svolgere né scomporre (e come potresti scomporlo?).

Devi notare che [tex]$ 1 - \left(\frac{3x}{3x+1}\right)^{2}$[/tex] è una differenza di quadrati.