Problema con equazioni di 2°

[oleg.fresi]

Ho questo problema che è facilissimo da risolvere, infatti a prima vista verrebbe da impostare un sistema ma il testo chiede di risolverlo usando un'equazione di secondo grado. Determina le lunghezze dei lati di un rettangolo, avente perimetro uguale a $30cm$ e area uguale a $50cm^2$.
Il sistema sarebbe:
$2b+2h=30$
$bh=50$

Ma proprio non capisco come risolverlo con un'unica equazione. Poi c'è un'altra cosa che non capisco: nel sistema non ci sono incognite di secondo grado ma risolvendolo ci si imbatte in un'equazione di secondo grado.Perchè?

[mgrau]

Immagino che il trucco consista nel fare a mente il primo passaggio che si farebbe per risolvere il sistema,
cioè, invece di scrivere $2b+2h=30$ o $b + h = 15$, si può direttamente, senza grande sforzo di immaginazione, scrivere $b = 15 - h$,
da cui poi $(15 - h)*h = 50$ che è appunto di secondo grado, e ha soluzioni h = 10 e 5. E quindi b = 5 e 10.
Perchè di secondo grado? Possiamo vedere la cosa notando che base e altezza sono intercambiabili, per cui dobbiamo aspettarci che data una coppia di soluzioni (10 e 5) ci sia anche quella scambiata (5 e 10), cioè DUE soluzioni, da cui il grado 2.

Inoltre: dici che nel sistema non ci sono incognite di secondo grado: ma il monomio bh E' di secondo grado.

[oleg.fresi]

Grazie mille per l'aiuto.

[@melia]

In una equazione di secondo grado $ax^2+bx+c=0$ la somma delle soluzioni è $-b/a$ mentre il prodotto è $c/a$. L'equazione può essere scritta anche $x^2-Sx+P =0$, dove S è la somma e P il prodotto delle soluzioni.
Nel problema la somma dei lati è metà del perimetro è il prodotto è l'area. I lati sono le soluzioni dell'equazione $x^2-15x+50=0$