Problema con equazione logaritmica

[oleg.fresi]

Ho questa e quazione logaritmica: $sqrt(log_(1/2) (x)+5)-sqrt(log_2 (x)-1) = 2$
Ho fatto le condizioni di esistenza ed ho ottenuto: $2<=x<=32$
Quando ho risolto l'equazione ho trovato come soluzioni: $X_1=2 ; X_2=32$ però il libro segna come soluzione solo $X_1=2$ ed in effetti andando a sostituire il $32$ per vedere se fosse un errore del libro ho trovato un'uguaglianza falsa. Perchè le condizioni di esistenza ammettono quella soluzione ma poi non vale? Potreste spiegarmelo per favore?

[Studente Anonimo]

Probabilmente, prima di elevare al quadrato, non ti sei sincerato che i due membri fossero concordi.

[axpgn]

Prima di elevare al quadrato hai posto il membro di sinistra maggiore o uguale a zero?

[oleg.fresi]

Intendi quando ho fatto: $(sqrt(log_(1/2) (x)+5))^2 = (2+sqrt(log_2 (x)-1))^2$

[axpgn]

O qui o prima è lo stesso: prima di elevare al quadrato devi imporre che entrambi i membri abbiano lo stesso segno

[oleg.fresi]

Quindi avrei dovuto mettere il secondo membro maggiore o uguale a zero e poi metterlo a sistema con la condizione di prima?

[Studente Anonimo]

Elevando immediatamente al quadrato si deve porre:

$sqrt(log_(1/2)x+5)-sqrt(log_2x-1) gt= 0$

Tuttavia, è possibile risparmiarsi una disequazione se, prima di elevare al quadrato, si esegue il seguente passaggio:

$sqrt(log_(1/2)x+5)=2+sqrt(log_2x-1)$

visto che, nel campo di esistenza, anche il secondo membro è senz'altro non negativo.

[oleg.fresi]

Potreste illustrarmi tutte le condizioni da porre dall'inizio alla fine, perchè non ho capito bene?

[Studente Anonimo]

$sqrt(5-log_2x)=2+sqrt(log_2x-1) rarr$

$rarr \{(5-log_2x gt= 0),(log_2x-1 gt= 0),(5-log_2x=4+log_2x-1+4sqrt(log_2x-1)):} rarr$

$rarr \{(2 lt= x lt= 32),(2sqrt(log_2x-1)=1-log_2x):}$

Tuttavia, poiché è necessario elevare una seconda volta al quadrato, si deve ancora imporre che i due membri siano concordi:

$[1-log_2x gt= 0] rarr [x lt= 2]$

A questo punto, visto che l'unica soluzione possibile è $[x=2]$, invece di elevare al quadrato conviene fare direttamente una verifica.

[oleg.fresi]

Perfetto, grazie mille, quindi se ora metto a sistema : ${(1-log_2 x>=0),(2<=x<=32) :}$ ottengo che il sistema è verificato solo per $x=2$ giusto?

[Studente Anonimo]

Certamente. Inoltre, visto che l'unica soluzione possibile è $[x=2]$, invece di elevare al quadrato conviene fare direttamente una verifica.

[oleg.fresi]

Perfetto, grazie mille per l'aiuto!