Problema con equazione goniometrica
Ho un'equazione goniometrica elementare ma non riesco a capire il mio errore
$sin(x-pi)+sin(4x)=0$
$sin(x-pi)=-sin(4x)$
$sin(x-pi)=sin(-4x)$
Procedendo così mi dà giusto solo un risultato
Procedendo diversamente mi danno tutti e due giusti i risultati:
$sin(x-pi)+sin(4x)=0$
$sin(4x)=-sin(x-pi)$
$sin(4x)=sin(pi-x)$
Come mai? Potreste aiutarmi per favore a capire, mi sta facendo impazzire!
$sin(x-pi)+sin(4x)=0$
$sin(x-pi)=-sin(4x)$
$sin(x-pi)=sin(-4x)$
Procedendo così mi dà giusto solo un risultato
Procedendo diversamente mi danno tutti e due giusti i risultati:
$sin(x-pi)+sin(4x)=0$
$sin(4x)=-sin(x-pi)$
$sin(4x)=sin(pi-x)$
Come mai? Potreste aiutarmi per favore a capire, mi sta facendo impazzire!
Risposte
Puoi riportare il tuo svolgimento e la tua soluzione? Riporta anche quella del libro. Le soluzioni possono essere apparentemente diverse, ma non lo sono, nel caso di equazioni goniometriche.
Questo è il mio svolgimento:
$sin(x-pi)+sin(4x)=0$
$sin(x-pi)=-sin(4x)$
$sin(x-pi)=sin(-4x)$
Prima soluzione:
$x-pi=-4x+2kpi$
$5x=pi+2kpi$
$x=pi/5+2/5kpi$ e questa mi dà giusta
Seconda soluzione:
$x-pi-4x=pi+2kpi$
$-3x=2pi+2kpi$
$x=-2/3pi-2/3kpi$ e questa mi dà sbagliata. La soluzione del libro è: $2/3kpi$
$sin(x-pi)+sin(4x)=0$
$sin(x-pi)=-sin(4x)$
$sin(x-pi)=sin(-4x)$
Prima soluzione:
$x-pi=-4x+2kpi$
$5x=pi+2kpi$
$x=pi/5+2/5kpi$ e questa mi dà giusta
Seconda soluzione:
$x-pi-4x=pi+2kpi$
$-3x=2pi+2kpi$
$x=-2/3pi-2/3kpi$ e questa mi dà sbagliata. La soluzione del libro è: $2/3kpi$
Poi ho provato a raccogliere il meno della parentesi del seno al primo membro e portandolo fuori mi diventava:
$-sin(pi-x)=-sin(4x)$
$sin(pi-x)=sin(4x)$
E procedendo così mi dava, ma non capisco perchè col primo metodo non funzionava. Ho applicato la regola:
$sin(x)=-sin(y)$
$sin(x)=sin(-y)$
Dove stà l'errore?
$-sin(pi-x)=-sin(4x)$
$sin(pi-x)=sin(4x)$
E procedendo così mi dava, ma non capisco perchè col primo metodo non funzionava. Ho applicato la regola:
$sin(x)=-sin(y)$
$sin(x)=sin(-y)$
Dove stà l'errore?
Non hai sbagliato, infatti. Prova a pensare...\[-\frac{2}{3} \pi - \frac{2}{3}k\pi=\frac{2}{3} \cdot \underbrace{(-1-k)}_{\text{un numero intero qualsiasi (verificalo!)}} \cdot \pi=\frac{2}{3} (\underbrace{\text{un numero intero qualsiasi}}_{\text{... come la $k$ del tuo libro...}}) \pi\] Non ti fossilizzare sulla $k$, serve solo come segnaposto: il suo ruolo può benissimo essere assunto da una qualsisi altra lettera come se niente fosse! Come ti ho detto prima
Le soluzioni possono essere apparentemente diverse, ma non lo sono, nel caso di equazioni goniometriche
Non ho capito bene, se per esempi $k=1$ $x=-4/3pi$ e non $2/3pi$
Prova a far variare le $k$ in entrambe le soluzioni, la tua e quella del libro, e vedi che alla fine le soluzioni sono le stesse... Elencane alcune. Tra le soluzioni del libro c'è $\frac{2}{3}\pi$ (con $k=1$), ma tu nella tua soluzione lo ritrovi con $k=-2$. E potremmo continuare... Ma fa niente, le soluzioni alla fine della fiera sono le stesse!
Ah perfetto, adesso ho capito come funziona, grazie mille per l'aiuto!
Non ti preocuppare non sei l'unico a perdersi su queste cose. Non ti fossilizzare sulla $k$ che usa il libro. Ti serve solo che qualcosa venga moltiplcato per un numero intero, che questo si chiami $a$, $b$, $c$, $k$, $j$, $\text{Peppino}$, $\text{Giulia}$, $20-k$, o altro, basta che sia intero!
Grazie ancora, per il chiarimento, buona giornata.
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