Problema con eq. di 2 grado (250293)

[Questions]

Buonasera ho bisogno di aiuto per il seguente problema: è dato un triangolo rettangolo isoscele ABC, di ipotenusa BC= 2arad2. Determina sul cateto AC un punto P in modo che, indicata con H la proiezione di P su BC, Sia verificata la relazione: PH^2 + PB^2 = 6a^2. Risultato[P coincde con A e AP= 4a/3]. Grazie mille

[Studente Anonimo]

Ciao,
calcoliamo i lati uguali del triangolo isoscele:
AC=AB = BC/√2 =2a√2/√2= 2a

Indico AP = x ,si ha che:
CP=(2a-x) ;
di conseguenza
PH = (2a-x)/√2
e
PB = √(AB²+AP²) =√(4a²+x²)

Ora la relazione
PH² + PB²= 6a²
la possiamo riscrivere come:
(2a-x)²/2 + (4a²+x²) = 6a²
che sviluppata diventa:
2a²-2ax+x²/2+4a²+x² = 6a²
3/2 x² -2ax =0
x(3/2 x -2a) = 0
le soluzioni sono :
x=0 cioè P coincide con A ;
e
x = 2a×2/3 = 4/3 a cioè AP = 4/3 a

spero di esserti stato di aiuto.
saluti :-)