Problema con disequazione logaritmica

[NeraTempesta]

Buongiorno a tutti
chiedo una mano per la risoluzione di una disequazione logaritmica.
La disequazione logaritmica è la seguente:
log^3-4log^2+4logx<=0

Ho pensato di sostituire con un'incognita ausiliaria ottenendo:
y^3-4y^2+4y<=0
y(y^2-4y+4)<=0
y<=0
y^2-4y+4<=0 il delta è uguale a =0, quindi le soluzioni è per ogni y, e nel punto y=2 si azzera.
Soluzione, quindi, 0<=y<=2
Ora arriva la traslazione del risultato, in cui y=logx
C.E. x>0
logx<=0
logx>=log 1 quindi x<=1
logx<=log100 quindi x<=100

In sistema le tre formule: il risultato è 0 Ma il libro mi da anche x=100... Non riesco a capire perchè!
Mi potete aiutare?
Grazie mille

[axpgn]

Sarebbe così $(log(x))^3-4*(log(x))^2+4*log(x)<=0$ ?

E in quale base è espresso il logaritmo?

"NeraTempesta":Soluzione, quindi, 0<=y<=2

Non mi pare proprio, rivedi il tuo modo di operare con le disequazioni


Cerca di utilizzare le formule la prossima volta perché altrimenti si capisce poco ...


Cordialmente, Alex

[Zero87]

"NeraTempesta":y^2-4y+4<=0 il delta è uguale a =0, quindi le soluzioni è per ogni y, e nel punto y=2 si azzera.
Soluzione, quindi, 0<=y<=2

Se y=1 hai 1-4+4=1 che non è minore o uguale di zero...

Detto questo, ti do il benvenuto al forum e ti sprono a essere un po' più ordinato o, quantomeno, chiaro nei passaggi. Non dico per noi, quanto per te, in generale: guarda, riprendo l'esercizio come l'hai fatto tu e te lo rimetto un po' in ordine (nei punti chiave) e correggo un paio di errori.

Hai
$log^3(x)-4log^2(x)+4log(x) \le 0$
da studiare. Come hai fatto anche tu, si può porre $log(x) = y$ e studiare
$y(y^2-4y+4) \le 0$

Ora, a voler essere sbrigativi, $y^2-4y+4 = (y-2)^2$: questo, essendo sempre un termine non negativo, non influenza mai il segno della disequazione e alla fine va preso solo il punto $y=2$ che annulla tutto il primo termine.

A non voler essere sbrigativi, andrebbe fatto lo studio del segno, quello con i "+" e i "-", termine a termine:
$y \ge 0 \qquad \rarr \qquad y \ge 0$
$(y-2)^2 \ge 0 \qquad \rarr y \in \RR$

Da cui, facendo lo studio del segno (qui il disegno non lo faccio), si trova che la soluzione totale è $y \le 0$ e $y=2$, poiché in $y=2$ si annulla e quindi verifica la disequazione come equazione (c'è il "minore o uguale").

Effettuando la sostituzione inversa, si ottiene
$y \le 0 \qquad \rarr \qquad log(x) \le 0 \qquad \rarr \qquad 0 < x \le 1$
$y = 2 \qquad \rarr \qquad log(x) = 2 \qquad \rarr \qquad x = 10^2 = 100$.

Nota: personalmente sono abituato a indicare con "log(x)" il logaritmo in base "e" e con "Log(x)" quello in base 10. Se non ho capito male le nuove generazioni fanno come fai tu. Ho comunque riscritto tutto perché se provi a citare parti del mio messaggio, puoi iniziare a dare un'occhiata alla scrittura delle formule qui sul forum...

[_clockwise]

Il problema sta nella risoluzione della disequazione $y^3-4y^2+4y\leq 0$, dove $y=\log x$. Ricordati di dichiarare come vuoi definire la variabile ausiliaria e, in questo caso, come ti ha fatto notare axpgn, anche la base del logaritmo (per me $\log$ indica il logaritmo in base 10 e così ho interpretato la tua equazione, ma ci sono altre convenzioni).

Il tuo procedimento è corretto! Hai solo fatto un po' di confusione nello studiare il segno dei fattori.
Il polinomio $y^3-4y^2+4y$ si fattorizza come $y(y-2)^2$. Studiamo il segno dei due fattori:

1. $y$, banalmente, è positivo se $y>0$, nullo se $y=0$, negativo se $y<0$;
2. $(y-2)^2$, invece, è positivo se $y\ne 2$, nullo se $y=2$.[/list:u:eixunneg]
Se rappresenti la situazione sulla retta reale, trovi che i punti in cui il prodotto $y(y-2)^2$ è negativo o nullo sono \(y\in\left]-\infty,0\right]\cup\{2\}\). Insomma, hai dimenticato il punto $y=2$.

Da qui segue facilmente la soluzione: \(x\in\left]0,1\right]\cup\{100\}\).