Problema con discussione

[donald_zeka]

Sia dato un quadrato di vertici $ABCD$ e lato $a$.
Si tracci la diagonale DB e su questa si prenda un punto $P$ e si trovi la funzione $DP^2+AP^2=k*a^2$
Ponendo $x=angolo PAB$ trovo che la funzione finale mi viene:
$2+cos(2x)=k(1+sin(2x))$
Pongo $cos(2x)=X$ e $sin(2x)=Y$ e ottengo:
$2+X=k(1+Y)$
che è appunto un fascio di rette.
Ricordando che $X^2+Y^2=1$ devo discutere il problema al variare di $k$ ma non saprei come fare.

[giammaria2]

Comincia a scrivere la limitazione per l'angolo $2x$ e segna sul cerchio goniometrico i due punti corrispondenti, che chiamo $A',B'$. Trova il centro di quel fascio di rette; disegna quelle che passano per $A',B'$ e calcola la loro $k$. In generale bisognerebbe disegnare anche le rette del fascio tangenti alla circonferenza e calcolarne la $k$, ma in questo caso è inutile. Con questi suggerimenti sai continuare? In caso contrario, scrivi quello che sei riuscito a fare.

EDIT: come scrivo nel mio post successivo, le tangenti servono; scusate l'errore.

[donald_zeka]

Ho capito quello che intendi, il centro del fascio dovrebbe essere $(-2;-1)$ e le limitazioni di $2x$ sono $0<2x Ho calcolato anche i valori di $k$ per la retta passante per $A$ e per quella passante per $B$, e anche quella tangente, il problema è che non capisco il perchè di questo procedimento, cioè, perchè gli unici $k$ validi sono quelli passanti per $A,B$ e la retta tangente alla circonferenza?? se una retta del fascio intersecasse la circonferenza, perchè quel valore di $k$ non andrebbe bene? Probabilmente è una domanda stupida ma è proprio questo che non ho capito di questo problema

[giammaria2]

Sei arrivato al sistema
${(X+2=k(Y+1)),(X=cos2x),(Y=sin2x),(0<2x Interpretiamolo geometricamente: dobbiamo trovare un punto $P(X,Y)$ tale che
- stia su una retta del fascio (prima equazione);
- stia sulla circonferenza goniometrica (seconda e terza equazione, spesso riassunte con $X^2+Y^2=1$);
- corrisponda ad un angolo fra $0$ e $pi$ (la disequazione).
Riassumendo queste condizioni e ricordando che in analitica sistema=intersezione, vogliamo che l'intersezione fra quella retta e quella circonferenza avvenga fra $A$ e $B$. Osservando il disegno, notiamo che alcune rette del fascio non incontrano la circonferenza: in quel caso (cioè per quei valori di $k$) non ci sono soluzioni. Altre la incontrano in due punti: possono essere tutti due sull'arco che ci interessa (due soluzioni accettabili), oppure può essercene uno solo (una soluzione accettabile) oppure ne sono entrambi fuori (nessuna soluzione accettabile).
Rettifico un mio errore: le tangenti ci servono, eccome!

[donald_zeka]

Ho capito, era più semplice di quanto pensassi, grazie.