Problema con derivate

[Albert Wesker 27]

Buon pomeriggio a tutti

Ho difficoltà ad approcciare questo problema:

Scrivere le equazione delle rette r ed s che risultano tangenti ad entrambe le parabole di equazione $y=-1/2x^2+2x+3$ e $y=x^2+8x+12$.

Ho calcolato le derivate delle due parabole. Inizialmente pensavo di procedere eguagliando queste ultime ma, ovviamente, non è questa la strada giusta. Non riesco a capire come approcciare il problema. Consigli? Grazie

[@melia]

Hai ragione, il metodo non può funzionare perché i punti di tangenza sono diversi. Devi utilizzare la condizione di tangenza con il sistema, per fare meno calcoli ho trovato la tangente alla prima parabola in un generico punto usando le derivate, e poi ho imposto che fosse tangente anche alla seconda parabola usando il sistema e ponendo $Delta=0$

[giammaria2]

Si possono anche usare le derivate. Indica con $u,v$ le ascisse dei punti di tangenza con le due parabole e poi scrivi le equazioni delle due tangenti nella forma $y=mx+q$; uguaglia fra loro le due $m$ e le due $q$.

[@melia]

Avevo provato, ma mi sono incasinata con i calcoli, mentre con l'altro metodo sono riuscita senza problemi. Magari Albert è meno pasticcione di me.

[Albert Wesker 27]

Grazie ad entrambi Il fatto è che, anche adesso, l'esercizio non torna. Non credo di sapermi destreggiare bene col metodo di giammaria (anche se forse sbaglio ad impostarlo). Mentre per il metodo di @melia: hai scritto le coordinate di un generico punto della curva come $(a;-a^2/2+2a+3)$ per poi fare il fascio per quel punto (utlizzando, ovviemnte, la derivata come $m$)?

[@melia]

Esattamente. Il fascio mi viene $y-a^2-8a-12=(2a+8)(x-a)$, l'ho messo a sistema con l'altra parabola e ho posto in $Delta=0$, ho ottenuto le soluzioni $a_1=-3$ e $a_2=-1$, da cui le tangenti $y=2x+3$ e $y=6x+11$

[Albert Wesker 27]

Stesso procedimento e medesimo risultato! Perfetto, grazie mille
Ormai che sono a disturbare, cerco di chiarificarmi ulteriormente le idee!
In questo caso siamo stati "fortunati" che le curve prese in considerazione erano coniche e cosi abbiamo potuto porre il delta uguale a zero. Ma in caso di curve qualunque, come dovrei procedre (è praticamente il metodo proposto da giammaria ma non riesco a trovarmici molto )

[giammaria2]

Posto parte dei miei calcoli per chiarire il metodo. Considero la prima parabola e cerco la prima tangente: si ha $y'=-x+2$, quindi $m=-u+2$; la tangente è
$y-(-1/2u^2+2u+3)=(-u+2)(x-u)->...->y=x(-u+2)+1/2u^2+3$
Con lo stesso procedimento calcolo la tangente alla seconda parabola che è
$y=x(2v+8)-v^2+12$
Impongo che le due rette coincidano:
${(-u+2=2v+8),(1/2u^2+3=-v^2+12):}$
Risolvendo questo sistema trovo le ascisse dei punti di tangenza e quindi le tangenti; i risultati sono ovviamente gli stessi di @melia.