Problema con alcuni vincoli
Si vuole costruire una dieta con 2 alimenti, $A$ e $B$. L'alimento A fornisce, ogni 100g di prodotto, 400 calorie e 20g di proteine. L'alimento B fornisce, ogni 100g di prodotto, 200 calorie e 30g di proteine. L'alimento A costa 25 euro al kg e l'alimento B costa 10 euro al kg. Si vuole che la dieta fornisca almeno 1500 calorie al giorno e non più di 80 grammi di proteine. Stabilisci come deve essere impostata la dieta per minimizzare i costi.
Sia $x$ la quantità di cibo A e $y$ la quantità di cibo B. I vincoli sono:
1) almeno 1500 calorie. Posso individuare la retta che rappresenta questo vincolo trovando due punti per cui passa: $1500/400=3.75$ etti di $x$ e $0$ di $y$, oppure $1500/200=7.5$ etti di $y$ e $0$ di $x$. Pertanto, la retta del vincolo è $y=-2x+7.5$
2) non più di 80g di proteine: ciò vuol dire $x<=4$ e $y=0$ oppure $y<=8/3$ e $x=0$
Scrivo il sistema in modo più compatto:
$\{(x<=4), (y<=8/3), (y>=-2x+7.5) :}$
La funzione di costo da minimizzare è $C(x,y) = 25x + 10y$
Il sistema è rappresentato dallo screenshot che vi posto (è l'area racchiusa dal quadrilatero i cui vertici sono evidenziati):
A me sembra evidente che la soluzione sia rappresentata dal punto $A$, cioè per minimizzare i costi bisogna prendere $29/12$ etti di $A$ e $8/3$ etti di $B$, avendo un costo di circa $87.08$, mentre secondo il libro la soluzione è $362.5$ grammi di $A$ e $25$ grammi di $B$, che però ha un costo maggiore di quello che ho trovato io. Quindi o ho sbagliato qualcosa nella risoluzione o c'è un errore nel libro.
EDIT: ho sbagliato a scrivere il secondo vincolo, adesso aggiusto e vedo se i conti tornano.
Sia $x$ la quantità di cibo A e $y$ la quantità di cibo B. I vincoli sono:
1) almeno 1500 calorie. Posso individuare la retta che rappresenta questo vincolo trovando due punti per cui passa: $1500/400=3.75$ etti di $x$ e $0$ di $y$, oppure $1500/200=7.5$ etti di $y$ e $0$ di $x$. Pertanto, la retta del vincolo è $y=-2x+7.5$
2) non più di 80g di proteine: ciò vuol dire $x<=4$ e $y=0$ oppure $y<=8/3$ e $x=0$
Scrivo il sistema in modo più compatto:
$\{(x<=4), (y<=8/3), (y>=-2x+7.5) :}$
La funzione di costo da minimizzare è $C(x,y) = 25x + 10y$
Il sistema è rappresentato dallo screenshot che vi posto (è l'area racchiusa dal quadrilatero i cui vertici sono evidenziati):
A me sembra evidente che la soluzione sia rappresentata dal punto $A$, cioè per minimizzare i costi bisogna prendere $29/12$ etti di $A$ e $8/3$ etti di $B$, avendo un costo di circa $87.08$, mentre secondo il libro la soluzione è $362.5$ grammi di $A$ e $25$ grammi di $B$, che però ha un costo maggiore di quello che ho trovato io. Quindi o ho sbagliato qualcosa nella risoluzione o c'è un errore nel libro.
EDIT: ho sbagliato a scrivere il secondo vincolo, adesso aggiusto e vedo se i conti tornano.
Risposte
Dopo aver scritto bene il secondo vincolo torna 
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