Problema circonferenza, corda e rette tangenti

[Am797]

Buongiorno, avrei bisogno di supporto per risolvere questo problema:

Data una circonferenza di centro O e raggio r traccia una corda AB e le tangenti alla circonferenza nei punti A e B che si intersecano nel punto C. determina la distanza della corda AB dal centro affinché il rapporto fra l'area del triangolo ABC e l'area del rettangolo di lato AB inscritto nella circonferenza sia 3/4.

Il risultato dovrebbe essere 1/2r.

Grazie in anticipo!

[anna.supermath]

Ciao, cerco di spiegarti l’esercizio che hai proposto.
Fai riferimento all’immagine allegata per seguire meglio la mia spiegazione.
Sia
AB la corda
AH = HB
r = raggio della circonferenza considerata di centro O
Si considerano il triangolo ABC ed il rettangolo ABDE (vedi figura allegata)
Si vuole trovare la distanza OH della corda AB dal centro della circonferenza in modo tale che:

[math]
\frac{A_{ABC}}{A_{ABDE}} = \frac{3}{4}
[/math]

Svolgimento
Si pone

[math]
AH = HB = x.
[/math]

Per cui si ha che

[math]
OH = \sqrt[2]{r^2 – x^2}
[/math]

Da cui

[math]
AE = 2 OH
[/math]

[math]
AE = 2 \sqrt[2]{r^2 – x^2}
[/math]

Quindi l’area del rettangolo considerato diviene:

[math]
A_{ABDE} = AB \cdot AE
[/math]

[math]
A_{ABDE} = 4x \sqrt[2]{r^2 – x^2}.
[/math]

Consideriamo il triangolo rettangolo OAC, per il Secondo Teorema di Euclide si ha che:

[math]
(AH)^2 = OH \cdot CH
[/math]

ossia

[math]
x^2 = \sqrt[2]{r^2 – x^2} \cdot CH
[/math]

quindi

[math]
CH = \frac{X^2}{\sqrt[2]{r^2 – x^2}}
[/math]

Quindi

[math]
A_{ABC} = \frac{AB \cdot CH}{2}
[/math]

[math]
A_{ABC} = \frac{X^3}{\sqrt[2]{r^2 – x^2}}.
[/math]

In conclusione si va a sostituire nella relazione data:

[math]
\frac{A_{ABC}}{A_{ABDE}} = \frac{3}{4}
[/math]

[math]
\frac{X^3}{\sqrt[2]{r^2 – x^2}} \cdot \frac{1}{4x \sqrt[2]{r^2 – x^2}} = \frac{3}{4}
[/math]

da cui svolgendo i calcoli (vedi immagine allegata), si ottiene che:

[math]
AH = x = \frac{\sqrt[2]{3}r}{\sqrt[2]{2}}
[/math]

Quindi essendo

[math]
OH = \sqrt[2]{r^2 – x^2}
[/math]

Si ottiene

[math]
OH = \sqrt[2]{\frac{r^2}{4}}
[/math]

Ossia

[math]
OH = \frac{r}{2}.
[/math]

Circonferenza e rette
Se hai dubbi chiedi pure

Aggiunto 1 minuto più tardi:

L'immagine di riferimento la trovi nel link in fondo "Circonferenza e rette"

[PNAGPP07]

il risultato è corretto.

Per dimostrarlo, consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r. Tracciamo una corda AB e le tangenti alla circonferenza nei punti A e B che si intersecano nel punto C.

Sappiamo che l’area del triangolo ABC è data da 1/2 * base * altezza. La base è la lunghezza della corda AB, e l’altezza è la distanza dal centro O alla corda AB. Quindi, l’area del triangolo ABC è 1/2 * AB * OC.

D’altra parte, l’area del rettangolo inscritto nella circonferenza (con AB come uno dei lati) è data da AB * OD, dove OD è la distanza dal centro O al punto medio D della corda AB.

Il rapporto tra queste due aree è quindi (1/2 * AB * OC) / (AB * OD) = OC / (2*OD).

Perché questo rapporto sia 3/4, dobbiamo avere OC = 3/2 * OD. Ma sappiamo che in un triangolo rettangolo con ipotenusa r (il raggio della circonferenza), e un cateto OD, l’altro cateto OC è dato da sqrt(r^2 - OD^2). Sostituendo questa espressione in OC = 3/2 * OD otteniamo sqrt(r^2 - OD^2) = 3/2 * OD.

Elevando al quadrato entrambi i membri otteniamo r^2 - OD^2 = 9/4 * OD^2. Risolvendo per OD otteniamo OD = r/2. Quindi, la distanza della corda AB dal centro O deve essere r/2 affinché il rapporto tra l’area del triangolo ABC e l’area del rettangolo sia 3/4.