Problema circonferenza (40172)
Determinare l'equazione della circonferenza, circoscritta al triangolo iscoscele ABC, sapendo che la base AB, di misura 6(radical)2, sta sulla retta x-y-4=0 e che il vertice C ha coordinate (-1;5).
Risposte
Il triangolo ABC e' isoscele.
questo significa che
I punti A e B appartengono alla retta
Detta
Sappiamo inoltre che la distanza tra A e B e'
Calcoliamo la distanza tra i due punti:
E quindi
E quindi
E quindi
Da qui dunque otteniamo due casi:
E' naturale che si ottengano due casi, dal momento che abbiamo due punti generici che posso essere "scambiati" (ovvero andando avanti con i due casi, troveremmo in un caso le coordinate di A e di B e nel secondo caso le stesse coordinate, ma scambiate (ovvero quelle di A su B e viceversa)
Pertanto portiamo avanti un caso solo (per verifica e per esercizio puoi provare con il secondo caso. Vedrai che otterrai gli stessi risultati invertiti)
Detto questo, sappiamo che il triangolo e' isoscele, e pertanto la distanza del punto A da C dovra' essere uguale a quella tra i punti B e C
Quindi:
eleviamo ambo i membri al quadrato e sostituiamo con le considerazioni fatte finora (ovvero condizione di appartenenza alla retta e relazione tra
Per comodita', dal momento che abbiamo tutto espresso in funzione di
da cui
E pertanto
Pertanto i tre vertici del triangolo saranno
Ora puoi trovare la circonferenza con la condizione di passaggio per i tre punti
Risolvi il sistema e trovi la circonferenza.
questo significa che
[math] \bar{AC}= \bar{BC} [/math]
I punti A e B appartengono alla retta
[math] x-y-4=0 \to y=x-4 [/math]
Detta
[math] x_A [/math]
l'ascissa del punto A e [math] x_B [/math]
l'ascissa del punto B, avremo che le rispettive ordinate [math] y_A \ e y_B [/math]
saranno rispettivamente [math] x_A-4 [/math]
e [math] x_B-4 [/math]
Sappiamo inoltre che la distanza tra A e B e'
[math] 6 \sqrt2 [/math]
Calcoliamo la distanza tra i due punti:
[math] \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}= 6 \sqrt2 [/math]
E quindi
[math] \sqrt{(x_A-x_B)^2+((x_A-4)-(x_B-4))^2}= 6 \sqrt2 [/math]
E quindi
[math] \sqrt{(x_A-x_B)^2+(x_A-x_B)^2}= 6 \sqrt2 [/math]
[math] \sqrt{2(x_A-x_B)^2}= 6 \sqrt2 [/math]
[math] |x_A-x_B| \sqrt2 = 6 \sqrt2 [/math]
E quindi
[math] |x_A-x_B|= 6 \to x_A-x_B= \pm 6 [/math]
Da qui dunque otteniamo due casi:
[math] x_B=x_A-6 [/math]
e [math] x_B=x_A+6 [/math]
E' naturale che si ottengano due casi, dal momento che abbiamo due punti generici che posso essere "scambiati" (ovvero andando avanti con i due casi, troveremmo in un caso le coordinate di A e di B e nel secondo caso le stesse coordinate, ma scambiate (ovvero quelle di A su B e viceversa)
Pertanto portiamo avanti un caso solo (per verifica e per esercizio puoi provare con il secondo caso. Vedrai che otterrai gli stessi risultati invertiti)
Detto questo, sappiamo che il triangolo e' isoscele, e pertanto la distanza del punto A da C dovra' essere uguale a quella tra i punti B e C
Quindi:
[math] \sqrt{(x_A+1)^2+(y_A-5)^2}= \sqrt{(x_b+1)^2+(y_B-5)^2} [/math]
eleviamo ambo i membri al quadrato e sostituiamo con le considerazioni fatte finora (ovvero condizione di appartenenza alla retta e relazione tra
[math] x_A \ \ e \ \ x_B [/math]
[math] (x_A+1)^2+(x_A-4-5)^2= (x_A-6+1)^2+(x_A-6-4-5)^2 [/math]
Per comodita', dal momento che abbiamo tutto espresso in funzione di
[math] x_A [/math]
tralascio il pedice..[math] x^2+2x+1+x^2-18x+81=x^2-10x+25+x^2-30x+225 [/math]
da cui
[math] x=7 [/math]
E pertanto
[math] y_A=x_A-4 \to y_A=7-4=3 [/math]
[math] x_B=x_A-6 \to x_B=7-6=1 [/math]
[math] y_B=x_B-4 \to y_B=1-4=-3 [/math]
Pertanto i tre vertici del triangolo saranno
[math] A(3,1) \\ B(1,-3) \\ C(-1,5) [/math]
Ora puoi trovare la circonferenza con la condizione di passaggio per i tre punti
[math] \{ 3^2+1^2+3a+b+c=0 \\ 1^2+(-3)^2+a-3b+c=0 \\ (-1)^2+5^2-a+5b+c=0 [/math]
Risolvi il sistema e trovi la circonferenza.
ok grazie mille !
Prego!
Chiudo.
Chiudo.
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