Problema circoncentro + incentro

giorgione1
Un saluto a voi tutti...

Questa volta il gioco si fa duro veramente:

un cerchio circoscritto al triangolo $ABC$, isoscele sulla base $AC$, ha l'area di 625 $pi$. Il lato $AB$ è di 30. Qual è la distanza tra il circumcentro e l'incentro del triangolo.

Ok, allora: il raggio è 25, fino qui tutti d'accordo, poi non riesco a trovare delle proprietà note tramite le quali andare avanti...

Risposte
giammaria2
EDIT: soluzione completamente sbagliata. Ho letto più volte il testo per controllare chi era circoscritto, ma alla fine ho ritenuto che lo fosse il triangolo. Perseverare è diabolico, quindi sono un diavolo.

Traccio l'altezza BH, che passa per il centro O; sia T il punto di tangenza con AB. Pongo $AH=x$; per il teorema delle due tangenti è anche $AT=x$ e quindi $BT=30-x$. Noto ora che i triangoli AHB e BTO sono simili, quindi BH:BT=AH:TO, da cui ricavo BH. Con l'equazione derivante da $AH^2+BH^2=AB^2$ ricavo x.
Però, se non ho fatto errori, si ottiene un'equazione di quarto grado; una soluzione è x=30, non accettabile, ma per le altre bisogna sperare in Ruffini.
Una volta trovato il triangolo, il raggio del cerchio inscritto si calcola con la formula "doppio dell'area fratto perimetro" (l'ho espressa in parole per evitare il dubbio se p indica il perimetro o il semiperimetro)

Iris26
Per prima cosa traccia l'altezza BH relativa alla base del triangolo isoscele e prolungala fino ad incontrare la circonferenza in D (in pratica si traccia il diametro che parte da B)
Unisci il punto D con A e ottieni un triangolo ABD, inscritto in una semicirconferenza, che quindi è un triangolo rettangolo (in A).
Del triangolo ABD sono noti il cateto AB (30) e l'ipotenusa BD (50).
Adesso applichi il teorema di Pitagora al triangolo ABD per ricavare il cateto AD, dovrebbe risultare AB = 40.
Col chè ti accorgi che il triangolo isoscele dato dal testo non contiene il centro della circongerenza, perchè AC è minore di AD, e quindi molto probabilmente devi rifare la figura (....sob) in modo che l'angolo in B sia ottuso e che la base sia abbastanza scostata dal centro.
Adesso applichi il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo ABD, per trovare BH, in questo modo: il quadrato del cateto AC (noto) è uguale al prodotto dell'ipotenusa BD (nota) per la sua proiezione sull'ipotenusa (BH, incognita). Dall'uguaglianza precedente ricavi BH. Dovrebbe risultare BH = 18.
Adesso puoi trovare anche AH (metà base del triangolo isoscele), applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABH, di cui conosci l'ipotenusa AB e il cateto BH. Dovrebbe risultare AH = 24.
Adesso sei in grado di trovare il raggio del cerchio inscritto, con la formula "S/p" cioè area del triangolo ABC divisa per il semiperimetro (puoi anche fare la doppia area divisa per il perimetro, è lo stesso). In pratica fai AH per BH per trovare l'area (risulta 30 * 24 = 432) e AC + AH per il semiperimetro (30 + 24 = 54). Calcolando il rapporto si ottiene 8 (incredibile, un intero!).
Adesso bisogna ragionare sulla figura:
disegna la circonferenza inscritta nel triangolo che è tangente ai tre lati, in particolare è tangente in H alla base. Traccia il raggio O'H. (Ho chiamato O' il centro della circonferenza inscritta).
Allora dalla figura osservi che la distanza fra incentro e circocentro è la somma di O'H con HO ( chiamando O il centro della circonferenza circoscritta), e quindi dobbiamo ancora calcolare HO (uffa!). HO è la differenza fra tutto il raggio BO e l'altezza BH, quindi dovrebbe essere 7.
Finalmente troviamo quanto richiesto dal problema sommando O'H (8) e HO (7). LA DISTANZA RICHIESTA E' 15!!! (Salvo errori di calcolo miei, comunque il procedimento è questo).
Che fatica, sono dimagrita 5 chili!
Ciao!

giorgione1
grazie giammaria, grazie iris

allora: il risultato iris è proprio 15, però il bello viene ora, capire il procedimento.... mi metto sotto e me lo studio un attimo... a dopo...

giorgione1
dico solo che mi sono dovuto installare GeoGebra per fare il disegno perchè a mano non si riusciva a capire nulla.... iris non ho parole il procedimento da te scritto non fa una piega, certo è che per fare un esercizio del genere impiega molto tempo... spero solo di ricordare tutti i passaggi e sperare soprattutto che non mi capiti... :D
grazie a te ad anche a giammaria a dopo ciao

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