Problema calcolo combinatorio
Buonasera,
ho un problema sul calcolo combinatorio, in particolare sulle combinazioni con ripetizione.
Venti lavagne interattive uguali devono essere suddivise tra 10 scuole. In quanti modi può avvenire la suddivisione ammettendo anche il caso che qualche scuola rimanga senza lavagna)E se a tutte le scuole viene assegnata almeno una lavagna?
Per il punto A ho pensato C(10;10) ma il risultato viene 20030010. Invece dovrebbe venire 10 015005
Non capisco.. Sono sicuro sia una combinazione con ripetizione.
Mentre per il punto B non ho idea di come si faccia xD
Grazie in anticipo per l'aiuto spero possiate darmi anche qualche dritta su come ragionare...
ho un problema sul calcolo combinatorio, in particolare sulle combinazioni con ripetizione.
Venti lavagne interattive uguali devono essere suddivise tra 10 scuole. In quanti modi può avvenire la suddivisione ammettendo anche il caso che qualche scuola rimanga senza lavagna)E se a tutte le scuole viene assegnata almeno una lavagna?
Per il punto A ho pensato C(10;10) ma il risultato viene 20030010. Invece dovrebbe venire 10 015005
Non capisco.. Sono sicuro sia una combinazione con ripetizione.
Mentre per il punto B non ho idea di come si faccia xD
Grazie in anticipo per l'aiuto spero possiate darmi anche qualche dritta su come ragionare...
Risposte
Scrivi esattamente come hai calcolato ognuno dei problemi, poi vediamo …
"axpgn":
Scrivi esattamente come hai calcolato ognuno dei problemi, poi vediamo …
GRazie mille ora mi è chiaro; vado avanti con i miei dubbi, sperando abbiate pazienza di dedicarmi altro tempo:
Un gioco per bambini é costituito da 10 blocchi di legno. Determina in quanti modi il bambino può allineare i 10 blocchi supponendo che:
Sono tutti di colori diversi(lo ho fatto è una semplice permutazione di 10 elementi. P10!
-5 sono gialli,3 rossi,2 blu e che i pezzi dello stesso colore sono indistinguibili uno dall'altro (non ho proprio idea di come farlo)
-i pezzi dello stesso colore debbano essere posti vicini tra loro( qui ho fatto, seguendo i vostri consigli di ieri, la suddivisione nei 3 blocchi e poi la permutazione di 3 )--> P3!=6 poi 6x3=18
- soltanto i pezzi gialli debbano essere posti vicino. (Ho pensato di fare un gruppo per i pezzi gialli e permutarli con il resto dei blocchi ma evidentemente è sbagliato P6! (5 sono gli elementi restanti+1 che + l'insieme dei gialli)...
"Anonimamente22":
-i pezzi dello stesso colore debbano essere posti vicini tra loro( qui ho fatto, seguendo i vostri consigli di ieri, la suddivisione nei 3 blocchi e poi la permutazione di 3 )--> P3!=6 poi 6x3=18
Qui sbagli. Ci sono solo tre "superblocchi", quindi 3!=6
Ieri per esempio con il blocco "Paola + Marco" dovevamo anche considerare PM e MP, ma qua i blocchi sono indistiguibili, quindi perchè moltiplichi per 3?
Per gli altri due esercizi devi ragionare con le permutazioni senza ripetizione.
In pratica trova tutte le permutazioni possibili di 10 elementi, ovvero 10!
Però sappiamo che non tutti gli elementi sono diversi fra di loro, quindi se prendiamo una sequenza qualsiasi, tipo:
GGBRBRGGRG
usando le permutazioni semplici abbiamo contato più volte questa sequenza (per esempio fra le 10! c'è questa identica sequenza invertendo i due Blu, un paio di Rossi o permutando tutti i Gialli etc etc).
Quindi dobbiamo eliminare tutti i doppioni dividendo il totale per le permutazioni degli oggetti identici $(10!)/(5!*3!*2!)=2.520$
In pratica trova tutte le permutazioni possibili di 10 elementi, ovvero 10!
Però sappiamo che non tutti gli elementi sono diversi fra di loro, quindi se prendiamo una sequenza qualsiasi, tipo:
GGBRBRGGRG
usando le permutazioni semplici abbiamo contato più volte questa sequenza (per esempio fra le 10! c'è questa identica sequenza invertendo i due Blu, un paio di Rossi o permutando tutti i Gialli etc etc).
Quindi dobbiamo eliminare tutti i doppioni dividendo il totale per le permutazioni degli oggetti identici $(10!)/(5!*3!*2!)=2.520$
Scusa Bokonon ma intendevi permutazioni CON ripetizione, no?
Quella è la formula appunto per le permutazioni con ripetizione (sto cercando di ricordarmela pensando agli anagrammi
)
Quella è la formula appunto per le permutazioni con ripetizione (sto cercando di ricordarmela pensando agli anagrammi
)
Si, intendevo CON...ma volevo toglierle e ho scritto senza LOL
Mi sembra giusto: un'ottima sintesi 
"Bokonon":
Per gli altri due esercizi devi ragionare con le permutazioni senza ripetizione.
In pratica trova tutte le permutazioni possibili di 10 elementi, ovvero 10!
Però sappiamo che non tutti gli elementi sono diversi fra di loro, quindi se prendiamo una sequenza qualsiasi, tipo:
GGBRBRGGRG
usando le permutazioni semplici abbiamo contato più volte questa sequenza (per esempio fra le 10! c'è questa identica sequenza invertendo i due Blu, un paio di Rossi o permutando tutti i Gialli etc etc).
Quindi dobbiamo eliminare tutti i doppioni dividendo il totale per le permutazioni degli oggetti identici $(10!)/(5!*3!*2!)=2.520$
Non mi è molto chiaro il punto D.
"supponendo che i 10 pezzi siano 5 gialli 3 rossi e 2 sono blu, e che soltanto i pezzi gialli debbano essere posti vicini tra loro"
Io ho pensato:
Devo avere il gruppo dei gialli che saranno sempre vicini;
Degli altri ci possono essere tutte le permutazioni del mondo; di conseguenza Si avrà la permutazione dei 5 restanti elementi( i rossi e i blu) 5+1 che è il gruppo dei gialli che saranno sempre vicini. Tirando le somme si avrà una permutazione di 6(6!)
Non capisco perchè è sbagliato. Sono proprio negato xD. Per favore datemi qualche dritta proprio sull'impostazione del ragionamento perchè non so proprio come prenderli questi problemi... Più ci provo più fallisco
Se i gialli devono stare vicini, li devi considerare come un blocco unico.
Quindi è come se dovessi trovare tutti gli anagrammi (diversi) della parola $\text(grrrbb)$; questi sarebbero proprio $6!$ se tutti i blocchetti fossero distinguibili uno dall'altro ma non è così: i rossi tra loro e i blu tra loro indistinguibili; di conseguenza quando li scambi fra loro non ottieni una configurazione diversa.
Perciò da tutte le permutazioni possibili vanno tolte tutte quelle uguali fra loro e allora torniamo alla formula delle permutazioni con ripetizione $(6!)/(1!3!2!)$
Cordialmente, Alex
Quindi è come se dovessi trovare tutti gli anagrammi (diversi) della parola $\text(grrrbb)$; questi sarebbero proprio $6!$ se tutti i blocchetti fossero distinguibili uno dall'altro ma non è così: i rossi tra loro e i blu tra loro indistinguibili; di conseguenza quando li scambi fra loro non ottieni una configurazione diversa.
Perciò da tutte le permutazioni possibili vanno tolte tutte quelle uguali fra loro e allora torniamo alla formula delle permutazioni con ripetizione $(6!)/(1!3!2!)$
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Se i gialli devono stare vicini, li devi considerare come un blocco unico.
Quindi è come se dovessi trovare tutti gli anagrammi (diversi) della parola $\text(grrrbb)$; questi sarebbero proprio $6!$ se tutti i blocchetti fossero distinguibili uno dall'altro ma non è così: i rossi tra loro e i blu tra loro indistinguibili; di conseguenza quando li scambi fra loro non ottieni una configurazione diversa.
Perciò da tutte le permutazioni possibili vanno tolte tutte quelle uguali fra loro e allora torniamo alla formula delle permutazioni con ripetizione $(6!)/(1!3!2!)$
Cordialmente, Alex
Mi scuso ma continuo a non capire la logica che vi è dietro
Riproviamo …
Prima cosa: i 5 gialli devono stare vicini quindi formeranno un unico "bloccone" e da qui in poi sarà come se avessimo un unico blocco giallo; chiaro?
Poi partiamo da una situazione più semplice: i blocchi dei vari colori sono tutti distinguibili fra loro cioè avremo un blocco giallo $G$, tre blocchi rossi $r_1, r_2, r_3$ e tre blocchi blu $b_1, b_2$.
In quanti modi li possiamo disporre? Sono $6!\ =\ 720$ ovvero tutte le permutazioni di sei oggetti. Ok ?
Prendiamo una qualsiasi permutazione di queste $720$, per esempio $Gr_2b_1r_1r_3b_2$.
In realtà i tre blocchi rossi sono indistinguibili fra loro, cioè la configurazione reale è questa $Grb_1rrb_2$
Ora, mi sembra evidente che quest'ultima configurazione può essere ottenuta da ciascuna delle $3!\ =\ 6$ permutazioni del tipo precedente ovvero da:
$Gr_2b_1r_1r_3b_2$
$Gr_2b_1r_3r_1b_2$
$Gr_1b_1r_2r_3b_2$
$Gr_1b_1r_3r_2b_2$
$Gr_3b_1r_1r_2b_2$
$Gr_3b_1r_2r_1b_2$
e di conseguenza le $720$ permutazioni "totali" vanno ridotte a $120$ dividendole per sei cioè $(6!)/(3!)$.
Ovviamente la stessa cosa vale per i blu e quindi le permutazioni vanno ridotte ulteriormente dividendo per $2!$ quindi $(6!)/(3!2!)$ (e volendo essere formali anche per il giallo cioè $(6!)/(3!2!1!)$ che, praticamente, non cambia nulla ma ti fa "vedere" che la "somma" dei termini al denominatore è uguale al numeratore
)
Cordialmente, Alex
Prima cosa: i 5 gialli devono stare vicini quindi formeranno un unico "bloccone" e da qui in poi sarà come se avessimo un unico blocco giallo; chiaro?
Poi partiamo da una situazione più semplice: i blocchi dei vari colori sono tutti distinguibili fra loro cioè avremo un blocco giallo $G$, tre blocchi rossi $r_1, r_2, r_3$ e tre blocchi blu $b_1, b_2$.
In quanti modi li possiamo disporre? Sono $6!\ =\ 720$ ovvero tutte le permutazioni di sei oggetti. Ok ?
Prendiamo una qualsiasi permutazione di queste $720$, per esempio $Gr_2b_1r_1r_3b_2$.
In realtà i tre blocchi rossi sono indistinguibili fra loro, cioè la configurazione reale è questa $Grb_1rrb_2$
Ora, mi sembra evidente che quest'ultima configurazione può essere ottenuta da ciascuna delle $3!\ =\ 6$ permutazioni del tipo precedente ovvero da:
$Gr_2b_1r_1r_3b_2$
$Gr_2b_1r_3r_1b_2$
$Gr_1b_1r_2r_3b_2$
$Gr_1b_1r_3r_2b_2$
$Gr_3b_1r_1r_2b_2$
$Gr_3b_1r_2r_1b_2$
e di conseguenza le $720$ permutazioni "totali" vanno ridotte a $120$ dividendole per sei cioè $(6!)/(3!)$.
Ovviamente la stessa cosa vale per i blu e quindi le permutazioni vanno ridotte ulteriormente dividendo per $2!$ quindi $(6!)/(3!2!)$ (e volendo essere formali anche per il giallo cioè $(6!)/(3!2!1!)$ che, praticamente, non cambia nulla ma ti fa "vedere" che la "somma" dei termini al denominatore è uguale al numeratore
)Cordialmente, Alex
"axpgn":
Riproviamo …
Prima cosa: i 5 gialli devono stare vicini quindi formeranno un unico "bloccone" e da qui in poi sarà come se avessimo un unico blocco giallo; chiaro?
Poi partiamo da una situazione più semplice: i blocchi dei vari colori sono tutti distinguibili fra loro cioè avremo un blocco giallo $G$, tre blocchi rossi $r_1, r_2, r_3$ e tre blocchi blu $b_1, b_2$.
In quanti modi li possiamo disporre? Sono $6!\ =\ 720$ ovvero tutte le permutazioni di sei oggetti. Ok ?
Prendiamo una qualsiasi permutazione di queste $720$, per esempio $Gr_2b_1r_1r_3b_2$.
In realtà i tre blocchi rossi sono indistinguibili fra loro, cioè la configurazione reale è questa $Grb_1rrb_2$
Ora, mi sembra evidente che quest'ultima configurazione può essere ottenuta da ciascuna delle $3!\ =\ 6$ permutazioni del tipo precedente ovvero da:
$Gr_2b_1r_1r_3b_2$
$Gr_2b_1r_3r_1b_2$
$Gr_1b_1r_2r_3b_2$
$Gr_1b_1r_3r_2b_2$
$Gr_3b_1r_1r_2b_2$
$Gr_3b_1r_2r_1b_2$
e di conseguenza le $720$ permutazioni "totali" vanno ridotte a $120$ dividendole per sei cioè $(6!)/(3!)$.
Ovviamente la stessa cosa vale per i blu e quindi le permutazioni vanno ridotte ulteriormente dividendo per $2!$ quindi $(6!)/(3!2!)$ (e volendo essere formali anche per il giallo cioè $(6!)/(3!2!1!)$ che, praticamente, non cambia nulla ma ti fa "vedere" che la "somma" dei termini al denominatore è uguale al numeratore
Cordialmente, Alex
Penso di aver capito, Grazie mille!
Parole chiave:
indistinguibili: Permutazione con ripetizione
distinguibili: Permutazione semplice
Giusto?
Vado avanti con gli esercizi per me infattibili, sperando che a furia di sbatterci la testa possa capire la logica:
si deve formare un comitato costituito da 2 uomini e 3 donne, scegliendone i componenti da un gruppo di 6 uomini e 5 donne
a) in quanti modi si può formare il comitato?(questo punto stranamente sono riuscito a farlo. Ho fatto la combinazione sia per gli uomini che per le donne e poi le ho moltiplicate:
cioè 6!/(6-2)x2! x 5!/(5-3)3! =150. ) Il risultato è giusto, l'unica domanda che mi sento di fare è perchè moltiplicare le due combinazioni e non sommarle?...
b) tra le 5 donne 2 hanno litigato e non vogliono appartenere al comitato assieme. (non ho idea di come farlo... Ho pensato a una combinazione per gli uomini e una disposizione per le donne(siccome conta l'ordine se 2 non devono stare assieme) ma non è giusto
"Anonimamente22":
l'unica domanda che mi sento di fare è perchè moltiplicare le due combinazioni e non sommarle?
Oh marò...perchè ogni comitato è formato da una coppia di uomini e una terna di donne. Per ogni coppia di uomini puoi associare una terna di donne. Quindi 15*10=150.
"Anonimamente22":
b) tra le 5 donne 2 hanno litigato e non vogliono appartenere al comitato assieme. (non ho idea di come farlo... Ho pensato a una combinazione per gli uomini e una disposizione per le donne(siccome conta l'ordine se 2 non devono stare assieme) ma non è giusto
Ci sono 15 combinazioni semplici possibili per gli uomini...e quelle le lasciamo così come sono.
Ci sono 10 comb. per le donne...ma fra esse ci sono terne che contengono le due litiganti...quindi dobbiamo rimuoverle.
Quante sono? Semplice, formo una terna in cui ci sono entrambe. Quante ne posso formare? Ci sono loro 2 + una terza donna e quest'ultima può essere scelta in 3 modi diversi. Quindi ci sono 3 terne da eliminare.
Quindi le terne diventano 10-3=7.
E ora basta fare 15*7=105 per ottenere il risultato
@Anonimamente22
[ot]Per rispondere si usa il tasto "RISPONDI" non il tasto "CITA"; quotare per intero un messaggio non è una buona cosa , a maggior ragione se è quello appena precedente.[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]Per rispondere si usa il tasto "RISPONDI" non il tasto "CITA"; quotare per intero un messaggio non è una buona cosa
, a maggior ragione se è quello appena precedente.[/ot]Cordialmente, Alex
Mi scuso per il cita;
Vi ringrazio per l'aiuto, la mia soglia di esercizi giusti sta aumentando;
Non ho ben capito come hai fatto a escludere una delle due donne nell'ultimo punto dell'esercizio @Bokonon
Vi ringrazio per l'aiuto, la mia soglia di esercizi giusti sta aumentando;
Non ho ben capito come hai fatto a escludere una delle due donne nell'ultimo punto dell'esercizio @Bokonon
Ci sono dieci modi diversi di scegliere tre donne da un gruppo di cinque; ok?
Questi sono tutti quelli possibili quindi fra essi ci sono anche quelle terne che comprendono le due litiganti, perciò dobbiamo eliminare queste terne.
Evidentemente le terne dove compaiono le litiganti sono tutte quelle composte dalle due litiganti e una terza donna, no?
Quindi queste terne da escludere sono formate dalle due litiganti (fisse) e un'altra donna la quale può variare tra le tre rimanenti, per un totale di tre terne da eliminare; chiaro?
Cordialmente, Alex
Questi sono tutti quelli possibili quindi fra essi ci sono anche quelle terne che comprendono le due litiganti, perciò dobbiamo eliminare queste terne.
Evidentemente le terne dove compaiono le litiganti sono tutte quelle composte dalle due litiganti e una terza donna, no?
Quindi queste terne da escludere sono formate dalle due litiganti (fisse) e un'altra donna la quale può variare tra le tre rimanenti, per un totale di tre terne da eliminare; chiaro?
Cordialmente, Alex
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