Problema calcolo combinatorio
Buonasera,
ho un problema sul calcolo combinatorio, in particolare sulle combinazioni con ripetizione.
Venti lavagne interattive uguali devono essere suddivise tra 10 scuole. In quanti modi può avvenire la suddivisione ammettendo anche il caso che qualche scuola rimanga senza lavagna)E se a tutte le scuole viene assegnata almeno una lavagna?
Per il punto A ho pensato C(10;10) ma il risultato viene 20030010. Invece dovrebbe venire 10 015005
Non capisco.. Sono sicuro sia una combinazione con ripetizione.
Mentre per il punto B non ho idea di come si faccia xD
Grazie in anticipo per l'aiuto spero possiate darmi anche qualche dritta su come ragionare...
ho un problema sul calcolo combinatorio, in particolare sulle combinazioni con ripetizione.
Venti lavagne interattive uguali devono essere suddivise tra 10 scuole. In quanti modi può avvenire la suddivisione ammettendo anche il caso che qualche scuola rimanga senza lavagna)E se a tutte le scuole viene assegnata almeno una lavagna?
Per il punto A ho pensato C(10;10) ma il risultato viene 20030010. Invece dovrebbe venire 10 015005
Non capisco.. Sono sicuro sia una combinazione con ripetizione.
Mentre per il punto B non ho idea di come si faccia xD
Grazie in anticipo per l'aiuto spero possiate darmi anche qualche dritta su come ragionare...
Risposte
Perché $C(10,10)$ ? Sono venti le lavagne e infatti viene proprio $10.015.005$
Per il punto B tieni conto che dieci lavagne sono già assegnate quindi ne rimangono solo dieci da condividere.
Per il punto B tieni conto che dieci lavagne sono già assegnate quindi ne rimangono solo dieci da condividere.
@Alex
$C(10,10)=1$ non 20.030.010
Intendeva chiaramente $C(29,10)$
$C(10,10)=1$ non 20.030.010
Intendeva chiaramente $C(29,10)$
Ha detto che dovrebbe venire $10.015.005$ per il punto $A$. Ed infatti viene.
Combinazioni con ripetizione.
Non saprei cosa si mette prima ma dovrebbe essere $C(n, k)$ che nel caso specifico sarebbe $C(10, 20)=((10+20-1),(20))=10.015.005$
Ovvero deve "pescare" quale scuola a cui dare la lavagna numero 1, e poi pescare quale scuola (magari la stessa) a cui dare la lavagna numero 2, ecc.
Nel punto $B$ abbiamo $C(10,10)=((10+10-1),(10))=92.378$
Cordialmente, Alex
Combinazioni con ripetizione.
Non saprei cosa si mette prima ma dovrebbe essere $C(n, k)$ che nel caso specifico sarebbe $C(10, 20)=((10+20-1),(20))=10.015.005$
Ovvero deve "pescare" quale scuola a cui dare la lavagna numero 1, e poi pescare quale scuola (magari la stessa) a cui dare la lavagna numero 2, ecc.
Nel punto $B$ abbiamo $C(10,10)=((10+10-1),(10))=92.378$
Cordialmente, Alex
Ecco perchè ultimamente non scrivo più tanto...mi stanco a ripetere le cose.
Ho solo osservato quanto ha scritto. Le combinazioni con ripetizione sono $C_r(n,k)=((n+k-1)!)/(k!(n-1)!)$
$C(29,10)=(29!)/(10!*19!)=C_r(20,10)=(29!)/(10!*19!)=20.030.010$
$C(10,10)=1$
$C_r(10,10)=(19!)/(10!*9!)=92.378$
Ha scritto:
Da ciò che ho scritto sopra mi era chiaro che intendesse $C_r(20,10)$ visto che tutte le altre possibilità sarebbero chiaramente errate.
Volevo solo dirti cosa l'OP intendeva dire, affinchè tu potessi aiutarlo al meglio. Doveva essere un "assist" per te.
Così avresti potuto scrivere "tu stai facendo $C_r(20,10)$ mentre invece dovresti fare $C_r(10,20)$ perchè blah blah blah".
Tutto qua.
P.S. Obiettivamente sono stato criptico con $C(29,10)$ avrei dovuto essere chiaro...ma sono diventato schifosamente pigro nello scrivere ultimamente. Comunque sia, non ce l'avevo con te! Anzi, sono con te!
Ho solo osservato quanto ha scritto. Le combinazioni con ripetizione sono $C_r(n,k)=((n+k-1)!)/(k!(n-1)!)$
$C(29,10)=(29!)/(10!*19!)=C_r(20,10)=(29!)/(10!*19!)=20.030.010$
$C(10,10)=1$
$C_r(10,10)=(19!)/(10!*9!)=92.378$
Ha scritto:
"Anonimamente22":
Per il punto A ho pensato C(10;10) ma il risultato viene 20030010. Invece dovrebbe venire 10 015005
Da ciò che ho scritto sopra mi era chiaro che intendesse $C_r(20,10)$ visto che tutte le altre possibilità sarebbero chiaramente errate.
Volevo solo dirti cosa l'OP intendeva dire, affinchè tu potessi aiutarlo al meglio. Doveva essere un "assist" per te.
Così avresti potuto scrivere "tu stai facendo $C_r(20,10)$ mentre invece dovresti fare $C_r(10,20)$ perchè blah blah blah".
Tutto qua.
P.S. Obiettivamente sono stato criptico con $C(29,10)$ avrei dovuto essere chiaro...ma sono diventato schifosamente pigro nello scrivere ultimamente. Comunque sia, non ce l'avevo con te! Anzi, sono con te!
che confusione Anch'io non ce l'ho con te
Non avendo compreso appieno la tua risposta, ho voluto chiarire il mio pensiero, non tanto per te ma soprattutto per l'OP
Nelle risposte ho usato la sua notazione perché penso che, dato il contesto, intendesse sempre "combinazioni con ripetizione".
Per inciso, la mia impressione è che non ci sia "universalità" in queste notazioni; talvolta trovo indici in basso e in alto, talaltra tra parentesi in orizzontale, altre volte si trova $k$ prima di $n$ ...
Cordialmente, Alex
@Alex Vero. Infatti usano spesso $C^{\prime}$. Però Wolfram prende C come combinazioni semplici, mentre non ho idea di quale sia la notazione per fargli prendere le combinazioni con ripetizione...per questo ho traslato il tutto in comb. semplici, LOL
"Bokonon":
Ecco perchè ultimamente non scrivo più tanto...mi stanco a ripetere le cose.
Ho solo osservato quanto ha scritto. Le combinazioni con ripetizione sono $C_r(n,k)=((n+k-1)!)/(k!(n-1)!)$
$C(29,10)=(29!)/(10!*19!)=C_r(20,10)=(29!)/(10!*19!)=20.030.010$
$C(10,10)=1$
$C_r(10,10)=(19!)/(10!*9!)=92.378$
Ha scritto:
[quote="Anonimamente22"]
Per il punto A ho pensato C(10;10) ma il risultato viene 20030010. Invece dovrebbe venire 10 015005
Da ciò che ho scritto sopra mi era chiaro che intendesse $C_r(20,10)$ visto che tutte le altre possibilità sarebbero chiaramente errate.
Volevo solo dirti cosa l'OP intendeva dire, affinchè tu potessi aiutarlo al meglio. Doveva essere un "assist" per te.
Così avresti potuto scrivere "tu stai facendo $C_r(20,10)$ mentre invece dovresti fare $C_r(10,20)$ perchè blah blah blah".
Tutto qua.
P.S. Obiettivamente sono stato criptico con $C(29,10)$ avrei dovuto essere chiaro...ma sono diventato schifosamente pigro nello scrivere ultimamente. Comunque sia, non ce l'avevo con te! Anzi, sono con te![/quote]
Mi scuso, intendevo 20,10 ovviamente. Piccolo errore di stanchezza. Sta di fatto che facendo 20!/10!(20-10)!(formula delle combinazioni) non viene quanto dovrebbe venire.
Vorrei mi spiegate come fanno a venirvi i due punti. Insomma la logica da applicare..
Colpo di scena...quella è la formula delle comb. semplici (senza ripetizione/reinserimento), non puoi avere applicato quella perchè avresti ottenuto 184.756.
La formula delle combinazioni con ripetizione è $C_r(n,k)=((n+k-1)!)/(k!(n-1)!)$ quindi $C_r(20,10)=(29!)/(10!*19!)=20.030.010$ ed è sbagliato!
Ed ho anche messo in evidenza l'errore:
Ti spiego il "blah blah blah".
L'idea è quella di assimilare la distribuzione casuale delle 20 lavagne alle 10 scuole ad un'estrazione da un'urna con reinserimento.
In pratica nell'urna ci sono 10 palline numerate corrspondenti alle 10 scuole. Estrai a caso una pallina e ti segni il numero della scuola corrispondente e scrivi "una lavagna per questa scuola". Poi reinserisci la pallina nell'urna e fai altre 19 estrazioni con reinserimento...fino ad esaurimento delle lavagne. E alla fine avrai una distribuzione casuale delle 20 lavagne alle 10 scuole.
Ora, il numero totale di possibili combinazioni con reinserimento sono $C_r(10,20)=(29!)/(20!*9!)=10.015.005$
La formula delle combinazioni con ripetizione è $C_r(n,k)=((n+k-1)!)/(k!(n-1)!)$ quindi $C_r(20,10)=(29!)/(10!*19!)=20.030.010$ ed è sbagliato!
Ed ho anche messo in evidenza l'errore:
"Bokonon":
...stai facendo $C_r(20,10)$ mentre invece dovresti fare $C_r(10,20)$ perchè blah blah blah"....
Ti spiego il "blah blah blah".
L'idea è quella di assimilare la distribuzione casuale delle 20 lavagne alle 10 scuole ad un'estrazione da un'urna con reinserimento.
In pratica nell'urna ci sono 10 palline numerate corrspondenti alle 10 scuole. Estrai a caso una pallina e ti segni il numero della scuola corrispondente e scrivi "una lavagna per questa scuola". Poi reinserisci la pallina nell'urna e fai altre 19 estrazioni con reinserimento...fino ad esaurimento delle lavagne. E alla fine avrai una distribuzione casuale delle 20 lavagne alle 10 scuole.
Ora, il numero totale di possibili combinazioni con reinserimento sono $C_r(10,20)=(29!)/(20!*9!)=10.015.005$
Eh, beh … lo abbiamo già spiegato a dir la verità …
Comunque non sono combinazioni semplici ma con ripetizione (peraltro l'avevi detto anche tu … )
La formula generale è $C_r(n, k)=((n+k-1),(k))$ dove $n$ è il numero di oggetti da cui "pescare" mentre $k$ è la dimensione del gruppo di oggetti "pescati" ogni volta.
In questo caso gli $n$ oggetti da cui pescare sono le dieci scuole, in quanto è come se tu estraessi ogni volta una scuola da un'urna per assegnarla ad una lavagna (prima la lavagna n.1, poi la n.2, poi la n.3, ecc. fino alla ventesima).
Come vedi, le scuole possono essere assegnate più di una volta (anzi in questo caso sicuramente più di una volta) però in ciascuna combinazione ottenuta tutte le lavagne sono state "usate" e tutte ad una sola scuola.
Il difficile da capire (almeno per me, che faccio sempre una gran fatica ) è proprio quello di capire "chi" va assegnato "a chi".
Cordialmente, Alex
Comunque non sono combinazioni semplici ma con ripetizione (peraltro l'avevi detto anche tu … )
La formula generale è $C_r(n, k)=((n+k-1),(k))$ dove $n$ è il numero di oggetti da cui "pescare" mentre $k$ è la dimensione del gruppo di oggetti "pescati" ogni volta.
In questo caso gli $n$ oggetti da cui pescare sono le dieci scuole, in quanto è come se tu estraessi ogni volta una scuola da un'urna per assegnarla ad una lavagna (prima la lavagna n.1, poi la n.2, poi la n.3, ecc. fino alla ventesima).
Come vedi, le scuole possono essere assegnate più di una volta (anzi in questo caso sicuramente più di una volta) però in ciascuna combinazione ottenuta tutte le lavagne sono state "usate" e tutte ad una sola scuola.
Il difficile da capire (almeno per me, che faccio sempre una gran fatica
) è proprio quello di capire "chi" va assegnato "a chi".Cordialmente, Alex
"Bokonon":
Colpo di scena...quella è la formula delle comb. semplici (senza ripetizione/reinserimento), non puoi avere applicato quella perchè avresti ottenuto 184.756.
La formula delle combinazioni con ripetizione è $C_r(n,k)=((n+k-1)!)/(k!(n-1)!)$ quindi $C_r(20,10)=(29!)/(10!*19!)=20.030.010$ ed è sbagliato!
Ed ho anche messo in evidenza l'errore:
[quote="Bokonon"]...stai facendo $C_r(20,10)$ mentre invece dovresti fare $C_r(10,20)$ perchè blah blah blah"....
Ti spiego il "blah blah blah".
L'idea è quella di assimilare la distribuzione casuale delle 20 lavagne alle 10 scuole ad un'estrazione da un'urna con reinserimento.
In pratica nell'urna ci sono 10 palline numerate corrspondenti alle 10 scuole. Estrai a caso una pallina e ti segni il numero della scuola corrispondente e scrivi "una lavagna per questa scuola". Poi reinserisci la pallina nell'urna e fai altre 19 estrazioni con reinserimento...fino ad esaurimento delle lavagne. E alla fine avrai una distribuzione casuale delle 20 lavagne alle 10 scuole.
Ora, il numero totale di possibili combinazioni con reinserimento sono $C_r(10,20)=(29!)/(20!*9!)=10.015.005$[/quote]
Grazie mille, con l'analogia dell'urna ora mi è tutto più chiaro.
E per quanto riguarda il punto b? potresti darmi delucidazioni anche su quello?
Anche di quello ne abbiamo già parlato: semplicemente, se assegno fissa una lavagna ad ogni scuola, ne rimangono solo dieci da assegnare nel primo modo.
Ti ha già risposto alex sul punto b...ti prego, leggi attentamente!
"Bokonon":
Ti ha già risposto alex sul punto b...ti prego, leggi attentamente!
Mi scuso; il problema non è il fatto che non leggo attentamente.
Ma è che io magari invio una risposta prima che arrivino le vostre. E nell'attesa che la mia risposta venga approvata compaiono le vostre. Quindi non ci posso fare niente
Grazie mille, credo di aver capito.
Ne approfitto per postare un'altro problema che mi sta dando problemi:
Barbara vuole sistemare su un ripiano vuoto della sua libreria 8 libri(tutti diversi tra loro) Fra gli otto libri ci sono i 3 libri della trilogia del signore degli anelli. determina in quanti modi barbara può disporre i libri:
a) se essi possono essere sistemati in ordine qualunque( e qui non ci vuole tanto a capire che sia una permutazione di 8 elementi)
b)se i 3 libri della trilogia devono essere messi vicini tra loro, ed esattamente nell'ordine della trilogia( il punto che mi da noia)
c) se i tre libri della trilogia devono essere messi vicini tra loro, ma possono essere disposti in qualsiasi ordine(ho semplicemente pensato di fare, una permutazione di 5 elementi(che sarebbero gli altri libri) che moltiplica una permutazione di 3 elementi(i 3 libri che ruotano) ma non sembra giusto.
Ultimo quesito:
sei amici, tra cui paola e marco si recano al cinema e si dispongono su una stessa fila, in posti adiacenti, in quanti modi possono disporsi se paola vuole stare vicina a marco?
Io qui avevo pensato, permutazione di 4(gli altri amici) che moltiplica una permutazione di 2(paola e marco) ma è sbagliato. Non capisco perchè.
come vedete non me ne esce mezzo di esercizio xD se avete qualche consiglio da darmi sarei molto contento...
Per il punto b) siccome i tre libri della trilogia sono indivisibili e con ordine fisso si comportano come se fossero un unico librone quindi permutazioni di sei oggetti
Il c) è una variante del b): anche in questo caso la trilogia si "muove" rispetto al resto come un libro solo ma per ciascuna posizione che essa assume i suoi tre tomi possono essere permutati fra loro.
Cordialmente, Alex
Il c) è una variante del b): anche in questo caso la trilogia si "muove" rispetto al resto come un libro solo ma per ciascuna posizione che essa assume i suoi tre tomi possono essere permutati fra loro.
Cordialmente, Alex
"Anonimamente22":
Ultimo quesito:
sei amici, tra cui paola e marco si recano al cinema e si dispongono su una stessa fila, in posti adiacenti, in quanti modi possono disporsi se paola vuole stare vicina a marco?
Io qui avevo pensato, permutazione di 4(gli altri amici) che moltiplica una permutazione di 2(paola e marco) ma è sbagliato. Non capisco perchè.
come vedete non me ne esce mezzo di esercizio xD se avete qualche consiglio da darmi sarei molto contento...
Seh seh, sei venuto a farti fare i compiti a casa altrochè
La strategia è la medesima, come quella indicata da Alex.
Forma la coppia Paola/Marco e fai variare 5 elementi. Poi moltiplichi per 2.
"Bokonon":
[quote="Anonimamente22"]
Ultimo quesito:
sei amici, tra cui paola e marco si recano al cinema e si dispongono su una stessa fila, in posti adiacenti, in quanti modi possono disporsi se paola vuole stare vicina a marco?
Io qui avevo pensato, permutazione di 4(gli altri amici) che moltiplica una permutazione di 2(paola e marco) ma è sbagliato. Non capisco perchè.
come vedete non me ne esce mezzo di esercizio xD se avete qualche consiglio da darmi sarei molto contento...
Seh seh, sei venuto a farti fare i compiti a casa altrochè
La strategia è la medesima, come quella indicata da Alex.
Forma la coppia Paola/Marco e fai variare 5 elementi. Poi moltiplichi per 2.[/quote]
Aahaha Tutt'altro. Sono venuto in cerca d'aiuto che settimana prossima ho il test su queste cose
Non ho capito la logica dietro ciò che hai detto.
Gli amici totali sono 6, tolti paola e marco non dovrebbero essere 4? quindi sarebbe 4 x2... Non capisco perchè 5
"axpgn":
Per il punto b) siccome i tre libri della trilogia sono indivisibili e con ordine fisso si comportano come se fossero un unico librone quindi permutazioni di sei oggetti
Il c) è una variante del b): anche in questo caso la trilogia si "muove" rispetto al resto come un libro solo ma per ciascuna posizione che essa assume i suoi tre tomi possono essere permutati fra loro.
Cordialmente, Alex
Con quale ragionamento sei arrivato a dire "permutazione di 6" oggetti. Non capisco come da 8 libri totali si passi a 6...
Ahia ... eppure mi sembrava chiaro ... se i tre libri della trilogia sono indivisibili è come se fossero in un cofanetto quindi hai solamente sei oggetti da sistemare (cinque libri e un cofanetto), ok?
Per gli amici è la stessa cosa: la coppia è indivisibile quindi la puoi considerare una persona sola quando posizioni gli amici ...
Per gli amici è la stessa cosa: la coppia è indivisibile quindi la puoi considerare una persona sola quando posizioni gli amici ...
"Anonimamente22":
Non ho capito la logica dietro ciò che hai detto.
Alex è stato chiarissimo!
Proviamo graficamente..
Nei problemi in cui c'è un vincolo di questo tipo, allora conviene formare un unico blocco (composto) come nell'immagine.
Marco e Paola devono stare attaccati...e lasciamo che lo siano, no? Quindi formano un unico blocco invariante ma che può essere sia MP oppure PM (2 combinazioni).
E adesso hai 5 blocchi in totale da permutare, no?
Quindi in totale $5!*2=240$
"Bokonon":
[quote="Anonimamente22"]
Non ho capito la logica dietro ciò che hai detto.
Alex è stato chiarissimo!
Proviamo graficamente..
Nei problemi in cui c'è un vincolo di questo tipo, allora conviene formare un unico blocco (composto) come nell'immagine.
Marco e Paola devono stare attaccati...e lasciamo che lo siano, no? Quindi formano un unico blocco invariante ma che può essere sia MP oppure PM (2 combinazioni).
E adesso hai 5 blocchi in totale da permutare, no?
Quindi in totale $5!*2=240$[/quote]
GRazie mille ora mi è chiaro; vado avanti con i miei dubbi, sperando abbiate pazienza di dedicarmi altro tempo:
Un gioco per bambini é costituito da 10 blocchi di legno. Determina in quanti modi il bambino può allineare i 10 blocchi supponendo che:
Sono tutti di colori diversi(lo ho fatto è una semplice permutazione di 10 elementi.
-5 sono gialli,3 rossi,2 blu e che i pezzi dello stesso colore sono indistinguibili uno dall'altro
-i pezzi dello stesso colore debbano essere posti vicini tra loro( qui ho fatto, seguendo i vostri consigli di ieri, la suddivisione nei 3 blocchi e poi la permutazione di 3)
- soltanto i pezzi gialli debbano essere posti vicino. (Ho pensato di fare un gruppo per i pezzi gialli e permutarli con il resto dei blocchi ma evidentemente è sbagliato)...
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