Problema artistico
Sono una studentessa dell'artistico con qualche difficoltà in matematica qualcuno può aiutarnmi?
Dato un quadrato di lato 9 cm.Sui lati AB BC CD DA si considerino i punti E,F,G,H in modo che AE=BF=CG=DH Dimostrare che il quadrilatero EFGH è un quadrato ( EFGH è il quadrato inscritto nel quadrato ABCD )
Determinare la posizione dei punti E F G H sui lati del quadrato dato in modo che l'area quadrato inscritto sia di cmq 45.
Grazie
Dato un quadrato di lato 9 cm.Sui lati AB BC CD DA si considerino i punti E,F,G,H in modo che AE=BF=CG=DH Dimostrare che il quadrilatero EFGH è un quadrato ( EFGH è il quadrato inscritto nel quadrato ABCD )
Determinare la posizione dei punti E F G H sui lati del quadrato dato in modo che l'area quadrato inscritto sia di cmq 45.
Grazie
Risposte
AE=BF=CG=DH
visto che
BE=AB-AE
CF=BC-BF
DG=CD-CG
AH=AD-DH
e ricordando che in un quadrato AB=BC=CD=AD risulta anche BE=CF=DG=AH
i triangoli AEH e EFB hanno
1) AH=FB (appena dimostrato)
2) AE=BF (per ipotesi)
3) HAE=EBF=90° (per ipotesi)
per il teorema LAL i due triangoli sono congruenti; in particolare HE=EF e EHA=FEB
180°=HEA+HEF+FEB=HEA+HEF+EHA=HEF+(HEA+EHA)
inoltre 180°=EHA+HEA+EAH=(EHA+HEA)+90° da cui EHA+HEA=90°. sosituendo il risultato ottenuto nell'equazione precedente si ottiene
180°=HEF+90° ---> HEF=90°
stesso ragionamento si può fare per i triangoli DGH e CFG. il quadrilatero EFGH ha quindi 4 lati uguali e 4 angoli retti e quindi è un quadrato
ora chiamo AE=x e quindi BE=9-x
l'area di FEB vale quindi A=x(9-x) e l'area di FEB+FGC+GDH+HAE vale quindi A=4x(9-x)
l'area di ABC vale 9*9=81 quindi l'area di EFGH vale A=81-4x(9-x). questo valorer va posto uguale a 45, quindi devi solo risolvere l'equazione di 2° grado
81-4x(9-x)=45
visto che
BE=AB-AE
CF=BC-BF
DG=CD-CG
AH=AD-DH
e ricordando che in un quadrato AB=BC=CD=AD risulta anche BE=CF=DG=AH
i triangoli AEH e EFB hanno
1) AH=FB (appena dimostrato)
2) AE=BF (per ipotesi)
3) HAE=EBF=90° (per ipotesi)
per il teorema LAL i due triangoli sono congruenti; in particolare HE=EF e EHA=FEB
180°=HEA+HEF+FEB=HEA+HEF+EHA=HEF+(HEA+EHA)
inoltre 180°=EHA+HEA+EAH=(EHA+HEA)+90° da cui EHA+HEA=90°. sosituendo il risultato ottenuto nell'equazione precedente si ottiene
180°=HEF+90° ---> HEF=90°
stesso ragionamento si può fare per i triangoli DGH e CFG. il quadrilatero EFGH ha quindi 4 lati uguali e 4 angoli retti e quindi è un quadrato
ora chiamo AE=x e quindi BE=9-x
l'area di FEB vale quindi A=x(9-x) e l'area di FEB+FGC+GDH+HAE vale quindi A=4x(9-x)
l'area di ABC vale 9*9=81 quindi l'area di EFGH vale A=81-4x(9-x). questo valorer va posto uguale a 45, quindi devi solo risolvere l'equazione di 2° grado
81-4x(9-x)=45
ti ringrazio! visto che ho altri problemi simili da risolvere, posso inserirli? grazie
certo, fa pure!
Determinare le lunghezze dei lati di un trapezio rettangolo di area 43/3 di a al quadrato, sapendo che la diagonale minore è lunga 5a e che l'altezza supera di a la base minore ;
Dato il quadrato ABCD di area 16cmq determinare sulla retta del lato AB un punto E , in modo che la somma dei quadrati delle sue distanze dai vertici C e D sia 240 cmq ( interpretare la soluzione negativa )
A più tardi grazie:hi
Dato il quadrato ABCD di area 16cmq determinare sulla retta del lato AB un punto E , in modo che la somma dei quadrati delle sue distanze dai vertici C e D sia 240 cmq ( interpretare la soluzione negativa )
A più tardi grazie:hi
base maggiore AB, altezza AD e base minore CD. il triangolo ADC è rettangolo, quindi DC^2+AD^2=AC^2
ora chiamo CD=x e quindi AD=CD+a=x+a
per il teorema di pitagora
CD^2+AD^2=AC^2
x^2+(x+a)^2=(5a)^2
x^2+x^2+2ax+a^2=25a^2
2x^2+2ax-24a^2=0
x^2+ax-12a^2=0
(x+4a)(x-3a)=0
che ha 2 soluzioni:
x=-4a che è impossibile (non può essere un numero negativo)
x=3a che è invece accettabile. quindi CD=3a e AD=CD+a=4a
sai che
traccia l'altezza CH; sai che CH=AD e che HB=AB-CD quindi volendo puoi ricavarti nche il lato obliquo
purtroppo hai scritto il problema a metà, quindi non so cosa tu debba trovare:)
ora chiamo CD=x e quindi AD=CD+a=x+a
per il teorema di pitagora
CD^2+AD^2=AC^2
x^2+(x+a)^2=(5a)^2
x^2+x^2+2ax+a^2=25a^2
2x^2+2ax-24a^2=0
x^2+ax-12a^2=0
(x+4a)(x-3a)=0
che ha 2 soluzioni:
x=-4a che è impossibile (non può essere un numero negativo)
x=3a che è invece accettabile. quindi CD=3a e AD=CD+a=4a
sai che
[math]A=\frac{(AB+CD)AD}2[/math]
da cui puoi ricavarti AB (conosci l'area, la base minore e l'altezza).traccia l'altezza CH; sai che CH=AD e che HB=AB-CD quindi volendo puoi ricavarti nche il lato obliquo
purtroppo hai scritto il problema a metà, quindi non so cosa tu debba trovare:)
Sono rientrata ora causa nneve, i problemi sono due separati ed il primo è trascritto esattamente come lo vedi:hi
ops, non avevo letto la prima parte!:blush
AB=4
DE^2=DA^2+AE^2 (teorema di pitagora)
CE^2=BE^2+CB^2 (idem)
se chiami BE=x ottieni
DE^2=4^2+(4+x)^2
CE^2=4^2+x^2. ora non ti resta che porre DE^2+CE^2=240. la soluzione negativa indica che devi prendere E alla sinistra di B
AB=4
DE^2=DA^2+AE^2 (teorema di pitagora)
CE^2=BE^2+CB^2 (idem)
se chiami BE=x ottieni
DE^2=4^2+(4+x)^2
CE^2=4^2+x^2. ora non ti resta che porre DE^2+CE^2=240. la soluzione negativa indica che devi prendere E alla sinistra di B
Ti ringtazio infinitamente, ciao a presto:hi
a presto:):hi
Questa discussione è stata chiusa
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo