Problema Analitica Circonferenza (303231)

[LucaRiccardi]

Buongiorno, ho dei problemi con questo esercizio di geometria analitica sulla circonferenza... Grazie mille per chi mi aiuterà

[Yuri.Nardi]

Ciao LucaRiccardi,
ti suggerisco come procedere nella risoluzione generale e tu prova ad applicarla al problema particolare:

1)determina il centro e il raggio della circonferenza passando dalla forma esplicita alla forma implicita
si procede cosi:
X^2+Y^2+i*X+(i/2)^2-(i/2)^2+j*Y+(j/2)^2-(j/2)^2+k=0
ora raccolgo i due quadrati in forma implicita:
(X+i/2)^2+(Y+j/2)^2=-k+(i/2)^2+(j/2)^2
centro: (a,b)=(-i/2,-j/2)
raggio: R=sqrt[-k+(i/2)^2+(j/2)^2] (sqrt[argomento] è la radice
quadrata dell'argomento)
quindi ora è noto il centro e il raggio della circonferenza.

2)Sapendo che dobbiamo determinare la lunghezza di una corda pari al lato di un esagono regolare inscritto nella circonferenza, per assialsimmetria, l'esagono si suddivide in 6 triangoli equilateri (3 lati e 3 angolo uguali e sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo fa sempre 180gradi, si hanno 3 angoli da 60 gradi) e dunque i lati dei triangoli sono pari alla metà del diametro della circonferenza (pari al raggio R dunque)
chiamo con l=lunghezza arco , allora l=R

3)Ora ci interessa determinare quelle 2 rette parallele a Y=1/2*X la cui intersezione con la circonferenza genera corde di lunghezza pari al lato dell' esagono:
dato il generico fascio di rette parallelo a Y=1/2*x e che si esprime
come:
Y=1/2*X+q
interseco questo fascio di rette con la circonferenza determinando
cosi tutte le coppie di punti che generano tutte le infinite corde
della circonferenza:
X^2 + (1/2*X+q)^2 + i*X + j*(1/2*X+q) + k = 0
X^2 + 1/4*X^2 + q^2 + q*X + i*X + 1/2*j*X + j*q + k = 0
4*X^2 + X^2 + 4*q^2 + 4*q*X + 4*i*X + 2*j*X + 4*j*q + 4*k = 0
5*X^2 + (4*q+4*i+2*j)*X + (4*q^2+4*j*q+4*k) = 0
quindi abbiamo ricavato un'equazione della forma m*X^2+n*X+t=0
trovo le radici dell'equazione come X1,X2={-n+-sqrt[n^2-4*m*t]}/(2*m):
X1={-(4*q+4*i+2*j)+sqrt[(4*q+4*i+2*j)^2-4*5*(4*q^2+4*j*q+4*k)}/(2*5)
X2={-(4*q+4*i+2*j)-sqrt[(4*q+4*i+2*j)^2-4*5*(4*q^2+4*j*q+4*k)}/(2*5)

Y1=1/2*X1+q
Y2=1/2*X2+q

4)i punti del piano (X1,Y1) e (X2,Y2) sono funzione della sola q e devo trovare quelle q tali che la distanza tra i due punti l sia pari al raggio R:
l=sqrt[(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2]
siccome l'espresione della distanza tra due punti ha una radice, avremo 2 risultati e quindi avremo q1 e q2

5)rette finali saranno:
5.1)Y=1/2*X+q1
5.2)Y=1/2*X+q2

Perfetto se segui il ragionamento, risolverai il tuo problema. Non ti ho dato il pesce ma ti ho dato una canna da pesca.

(non è finita qui):
ora ti mostro un secondo metodo più rapido anche se meno universale del primo: Dopo aver scritto la circonferenza in forma implicita, prendi il generico fascio di rette Y=1/2*X+q e imponi che la distanza tra questo fascio di rette parallele e il centro della circonferenza sia pari all'altezza del triangolo equilatero (h=sqrt[3]/2*R):
se centro è C=(X0,Y0)
e la retta è Y=m*X+q
la distanza di esso dalla retta si scrive come:
d1=(Y0-m*X0-q)/sqrt[1-m^2]
d2=(Y0-m*X0-q)/-sqrt[1-m^2]
ma sappiamo anche che d1=d2=h
imponendo tale vincolo, determini q1 e q2

come vedi ci sono diversi procedimenti possibili. Fammi sapere quale preferisci maggiormente e buono studio :D